Limite in due variabili
Qualcuno può aiutarmi con questo esercizio?
$lim_((x,y)->(0,0)) (xy^2)/(4x^2+y^4)$
Con le coordinate polari non concludo nulla e le restrizioni non ho ben capito come si usano. Grazie
$lim_((x,y)->(0,0)) (xy^2)/(4x^2+y^4)$
Con le coordinate polari non concludo nulla e le restrizioni non ho ben capito come si usano. Grazie
Risposte
Qui è molto semplice usare le restrizioni.
Chiama \(f(x,y):= \frac{xy^2}{4x^2+y^4}\). Se il limite assegnato esiste, esso deve essere lo stesso lungo qualsiasi curva che "vada a finire" nell'origine.
Due curve di tal fatta sono i due assi, che hanno equazioni \(y=0\) ed \(x=0\). La restrizione di \(f\) a tali curve si ottiene sostituendo le rispettive equazioni dentro la legge di assegnazione: quindi la restrizione di \(f\) all'asse delle ascisse è data da \(f(x,0)=0\), mentre la restrizione all'asse delle ordinate è data da \(f(0,y)=0\).
Conseguentemente, se il limite esiste, esso deve essere uguale a \(0\) (poiché questo è il valore comune al limite delle restrizioni, i.e. \(\lim_{x\to 0} f(x,0)=0=\lim_{y\to 0} f)(0,y)\)).
D'altra parte, un'altra curva che "va a finire" nell'origine è quella d'equazione \(x=y^2\) (che è una parabola con asse l'asse delle ascisse e concavità verso destra); la restrizione di \(f\) a tale curva si calcola come sopra ed è \(f(y^2,y)=\frac{1}{5}\) e ciò importa che il limite della restrizione di \(f\) è uguale a \(\lim_{y\to 0} f(y^2,y)=1/5\).
Dato che \(0\neq 1/5\), il limite assegnato non può esistere.
Chiama \(f(x,y):= \frac{xy^2}{4x^2+y^4}\). Se il limite assegnato esiste, esso deve essere lo stesso lungo qualsiasi curva che "vada a finire" nell'origine.
Due curve di tal fatta sono i due assi, che hanno equazioni \(y=0\) ed \(x=0\). La restrizione di \(f\) a tali curve si ottiene sostituendo le rispettive equazioni dentro la legge di assegnazione: quindi la restrizione di \(f\) all'asse delle ascisse è data da \(f(x,0)=0\), mentre la restrizione all'asse delle ordinate è data da \(f(0,y)=0\).
Conseguentemente, se il limite esiste, esso deve essere uguale a \(0\) (poiché questo è il valore comune al limite delle restrizioni, i.e. \(\lim_{x\to 0} f(x,0)=0=\lim_{y\to 0} f)(0,y)\)).
D'altra parte, un'altra curva che "va a finire" nell'origine è quella d'equazione \(x=y^2\) (che è una parabola con asse l'asse delle ascisse e concavità verso destra); la restrizione di \(f\) a tale curva si calcola come sopra ed è \(f(y^2,y)=\frac{1}{5}\) e ciò importa che il limite della restrizione di \(f\) è uguale a \(\lim_{y\to 0} f(y^2,y)=1/5\).
Dato che \(0\neq 1/5\), il limite assegnato non può esistere.
"gugo82":
Qui è molto semplice usare le restrizioni.
Chiama \(f(x,y):= \frac{xy^2}{4x^2+y^4}\). Se il limite assegnato esiste, esso deve essere lo stesso lungo qualsiasi curva che "vada a finire" nell'origine.
Due curve di tal fatta sono i due assi, che hanno equazioni \(y=0\) ed \(x=0\). La restrizione di \(f\) a tali curve si ottiene sostituendo le rispettive equazioni dentro la legge di assegnazione: quindi la restrizione di \(f\) all'asse delle ascisse è data da \(f(x,0)=0\), mentre la restrizione all'asse delle ordinate è data da \(f(0,y)=0\).
Conseguentemente, se il limite esiste, esso deve essere uguale a \(0\) (poiché questo è il valore comune al limite delle restrizioni, i.e. \(\lim_{x\to 0} f(x,0)=0=\lim_{y\to 0} f)(0,y)\)).
D'altra parte, un'altra curva che "va a finire" nell'origine è quella d'equazione \(x=y^2\) (che è una parabola con asse l'asse delle ascisse e concavità verso destra); la restrizione di \(f\) a tale curva si calcola come sopra ed è \(f(y^2,y)=\frac{1}{5}\) e ciò importa che il limite della restrizione di \(f\) è uguale a \(\lim_{y\to 0} f(y^2,y)=1/5\).
Dato che \(0\neq 1/5\), il limite assegnato non può esistere.
Grazie per la risposta. Non capisco però una cosa, in base a cosa scelgo una o un'altra restrizione? Posso scegliere una curva qualsiasi?
La scelta delle curve dipende sempre dal contesto.
A volte è facile individuarne alcune lungo le quali le cose non funzionano (come in questo caso), in altri casi è più difficile.
Fare molti esercizi aiuta parecchio.
A volte è facile individuarne alcune lungo le quali le cose non funzionano (come in questo caso), in altri casi è più difficile.
Fare molti esercizi aiuta parecchio.
Grazie mille
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo