Limite in convergenza
Buongiorno,
Purtroppo mi trovo costretto a chiedere ulteriori informazioni riguardo un
argomento.
Sto studiando la convergenza degli integrali. Finora non avevo avuto
problemi nella risoluzione di esercizi, ma oggi ho trovato un esercizio su
cui mi son bloccato per il limite.
L'esercizio in questione è questo:
$ int_(0)^(1) ln(1+4x^4)/x^2 dx $
Ho calcolato le CE che risultano essere: $ AA x in R - {0} $
Giunto al calcolo del limite, io ottengo una forma indeterminata 0/0, che anche se provo a risolverlo, non mi porta ad un punto di discontinuità di seconda specie.
Non mi spiego come una mia collega l'abbia
risolto cosi:
$ lim_(x -> 0^-) ln(1+4x^4)/x^2 = Non esiste $
$ lim_(x -> 0^+) ln(1+4x^4)/x^2 = oo $
A maggior ragione del fatto che il grafico della funzione, costruito
online, mi da una curva che non esiste solo in zero, ma a sinistra e destra
dello stesso punto, mi sembra simmetrica.
Potreste chiarirmi il problema? Son completamente bloccato, nonostante
abbia letto tutto il possibile sui limiti.
Grazie anticipatamente.
Purtroppo mi trovo costretto a chiedere ulteriori informazioni riguardo un
argomento.
Sto studiando la convergenza degli integrali. Finora non avevo avuto
problemi nella risoluzione di esercizi, ma oggi ho trovato un esercizio su
cui mi son bloccato per il limite.
L'esercizio in questione è questo:
$ int_(0)^(1) ln(1+4x^4)/x^2 dx $
Ho calcolato le CE che risultano essere: $ AA x in R - {0} $
Giunto al calcolo del limite, io ottengo una forma indeterminata 0/0, che anche se provo a risolverlo, non mi porta ad un punto di discontinuità di seconda specie.
Non mi spiego come una mia collega l'abbia
risolto cosi:
$ lim_(x -> 0^-) ln(1+4x^4)/x^2 = Non esiste $
$ lim_(x -> 0^+) ln(1+4x^4)/x^2 = oo $
A maggior ragione del fatto che il grafico della funzione, costruito
online, mi da una curva che non esiste solo in zero, ma a sinistra e destra
dello stesso punto, mi sembra simmetrica.
Potreste chiarirmi il problema? Son completamente bloccato, nonostante
abbia letto tutto il possibile sui limiti.
Grazie anticipatamente.
Risposte
Ciao!
I calcoli della tua collega sono sbagliati, il limite è $4$ sia per $x \to 0^+$ che per $x \to 0^-$; inoltre non ha molto senso calcolare il secondo limite in questo caso, in quanto $x \in [0,1]$.
Come mai non riesci a togliere la forma indeterminata? Puoi scrivere i conti che hai fatto, per favore?
Comunque cosa sai della convergenza degli integrali impropri?
I calcoli della tua collega sono sbagliati, il limite è $4$ sia per $x \to 0^+$ che per $x \to 0^-$; inoltre non ha molto senso calcolare il secondo limite in questo caso, in quanto $x \in [0,1]$.
Come mai non riesci a togliere la forma indeterminata? Puoi scrivere i conti che hai fatto, per favore?
Comunque cosa sai della convergenza degli integrali impropri?
"Mephlip":
Ciao!
I calcoli della tua collega sono sbagliati, il limite è $ 4 $ sia per $ x \to 0^+ $ che per $ x \to 0^- $; inoltre non ha molto senso calcolare il secondo limite in questo caso, in quanto $ x \in [0,1] $.
Come mai non riesci a togliere la forma indeterminata? Puoi scrivere i conti che hai fatto, per favore?
Comunque cosa sai della convergenza degli integrali impropri?
Ciao, prima di tutto ti ringrazio infinitamente per l'aiuto, perchè sto avendo diversi problemi con questo argomento.
Penso che lei abbia voluto forzare la mano perchè l'esercizio in questione rientra negli esercizi relativi alla discontinuità di seconda specie. Tralasciando questo, perchè non ha senso il limite per x->0-? Forse perchè non fa parte dell'intervallo? Ma per determinare il tipo di discontinuità, non valutiamo da entrambe le parti la funzione nel punto?
Per l'indeterminazione, ora ti aggiorno con i passaggi da me scritti, devo prendere il quaderno. In ogni caso, ora son in stallo con questo e la relativa convergenza, da svolgere per l'integrale da 0 a 2 della stessa funzione:
$ lim_(x -> -1^-) (1/(x+1)^2)*ln((2-x)/(1+x)) $
Ho scelto il limite per x->-1^- perchè il dominio è -1
Per quanto mi riguarda, la prima parte dovrebbe venire infinito, mentre la seconda (quella del logaritmo), non riesco a venirne a capo, perchè mi risulta ln(3/0-).
Cosa puoi dirmi a riguardo?
Per quanto riguarda i passaggi per eliminare l'indeterminazione, ho usato De l'Hopital:
$ f(x)= (ln(1+4x^4)/x^2) $
La derivata del numeratore e del denominatore mi portano a:
$ (16x^3)/(2x+8x^5) = (16x^2)/(2+8x^4) $
Mi restituisce ancora 0/0, quindi derivo ancora:
$ (32x)/(32x^3) = 1/x^2 = 1/0 =oo $
Ovviamente ci sarà qualcosa di sbagliato, ma non so dove.
$ f(x)= (ln(1+4x^4)/x^2) $
La derivata del numeratore e del denominatore mi portano a:
$ (16x^3)/(2x+8x^5) = (16x^2)/(2+8x^4) $
Mi restituisce ancora 0/0, quindi derivo ancora:
$ (32x)/(32x^3) = 1/x^2 = 1/0 =oo $
Ovviamente ci sarà qualcosa di sbagliato, ma non so dove.
"arnett":
Il limite fa $0$, poiché \(\log(1+4x^4)\sim4x^4\). La discontinuità è quindi eliminabile e l'integrale...
Non capisco come approssimi dal ln a 4x^4.
P.S. Ragionandoci su, non potrei:
$ lim_(x -> 0^-) (ln(1+4x^4)/(x^2)) = lim_(x -> 0^-) (ln(1+4x^4)/((x^2)(4x^2)))*4x^2 $
Ottenendo:
$ lim_(x -> 0^-) (ln(1+4x^4)/((x^2)(4x^2)))*4x^2 = 1*0=0 $
Ditemi se non va qualcosa in questo sviluppo.
Ciao, ha ragione arnett (l'esponente della potenza nel logaritmo era $4$ e non $2$ come ho erroneamente visto); si usa il fatto che $\ln (1+t) = t +o(t)$ per $t \to 0$, dunque se usi quello sviluppo di Taylor con $t=4x^4$ (e puoi farlo perché $4x^4 \to 0$ per $x \to 0^-$) il limite è $0$.
Il tuo ragionamento va bene per far vedere che il limite è nullo.
Edit: corretti degli errori di battitura.
Il tuo ragionamento va bene per far vedere che il limite è nullo.
Edit: corretti degli errori di battitura.
"arnett":
[quote="Nyzap"]
$ (16x^3)/(2x+8x^5) = (16x^2)/(2+8x^4) $
Mi restituisce ancora 0/0
Prendendo il limite si ha $0/2$, ossia $0$. La risoluzione coi limiti notevoli invece è giusta.[/quote]
Si, mi son reso conto ora di aver sbagliato a calcolare.
"Mephlip":
Ciao, ha ragione arnett (l'esponente della potenza del logaritmo era $ 4 $ e non $ 2 $ come ho erroneamente visto); si usa il fatto che $ \ln (1+t) = t +o(t) $ per $ t \to 0 $, dunque se usi quello sviluppo di Taylor con $ t=4x^4 $ (e puoi farlo perché $ 4x^4 \to 0 $ per $ x \to 0^- $ il limite è $ 0 $.
Il tuo ragionamento va bene per far vedere che il limite è nullo.
Non ho capito la seconda parte, per lacune mie, che vedrò di colmare.
A questo punto, venendo il limite 0, ciò significa che non è un punto di discontinuità, in quanto la funzione non "salta" (prima specie), non ho un valore di infinito(seconda specie), e non ho un valore non atteso (terza specie), giusto?
Se ad esempio con le stesse condizioni, per il limite che tende a 0 da sinistra, avessi ottenuto infinito o -infinito, avrei dovuto considerarlo come punto di discontinuità di seconda specie, visto che l'integrale va da 0 a 1?
P.S. Per l'altra funzione cosa sapete dirmi?
Se non hai trattato lo sviluppo di Taylor è normale che non ti sia chiaro, in tal caso va benissimo ragionare con i limiti notevoli come hai già fatto 
Comunque sì, nel primo esercizio l'intervallo di integrazione è $[0,1]$ e dunque non ti interessa il comportamento per $x \to 0^-$; è corretto quello che dici riguardo la discontinuità (ossia che bisogna studiare il limite sia da destra che da sinistra), ma in questo caso stai cercando di determinare la convergenza di un integrale improprio.
Il fatto è che se la funzione tende ad un valore finito $x_0$ puoi ridefinirla dando alla funzione il valore $x_0$ del limite, dunque la funzione si prolunga con continuità e perciò non ci sono problemi di integrazione.
Come va con la teoria sugli integrali impropri? Si discute abbastanza presto cosa bisogna fare quando c'è un punto dell'intervallo di integrazione in cui la funzione non è definita.
Per l'altra funzione è lo stesso discorso, se il dominio è $(-1,2)$ la funzione non esiste per $x<-1$ e perciò non ha senso calcolare il limite per $x \to -1^-$; piuttosto dovresti vedere cosa succede per $x \to -1^+$.
Dovrebbe scattarti un campanello d'allarme sul fatto che c'è qualcosa che non va già dal logaritmo con argomento negativo.
Comunque sì, nel primo esercizio l'intervallo di integrazione è $[0,1]$ e dunque non ti interessa il comportamento per $x \to 0^-$; è corretto quello che dici riguardo la discontinuità (ossia che bisogna studiare il limite sia da destra che da sinistra), ma in questo caso stai cercando di determinare la convergenza di un integrale improprio.
Il fatto è che se la funzione tende ad un valore finito $x_0$ puoi ridefinirla dando alla funzione il valore $x_0$ del limite, dunque la funzione si prolunga con continuità e perciò non ci sono problemi di integrazione.
Come va con la teoria sugli integrali impropri? Si discute abbastanza presto cosa bisogna fare quando c'è un punto dell'intervallo di integrazione in cui la funzione non è definita.
Per l'altra funzione è lo stesso discorso, se il dominio è $(-1,2)$ la funzione non esiste per $x<-1$ e perciò non ha senso calcolare il limite per $x \to -1^-$; piuttosto dovresti vedere cosa succede per $x \to -1^+$.
Dovrebbe scattarti un campanello d'allarme sul fatto che c'è qualcosa che non va già dal logaritmo con argomento negativo.
"Mephlip":
Se non hai trattato lo sviluppo di Taylor è normale che non ti sia chiaro, in tal caso va benissimo ragionare con i limiti notevoli come hai già fatto
Comunque sì, nel primo esercizio $ (-1,2) $l'intervallo di integrazione è $[0,1]$ e dunque non ti interessa il comportamento per $x \to 0^-$; è corretto quello che dici riguardo la discontinuità (ossia che bisogna studiare il limite sia da destra che da sinistra), ma in questo caso stai cercando di determinare la convergenza di un integrale improprio.
Il fatto è che se la funzione tende ad un valore finito per $x_0$ puoi ridefinirla dando alla funzione il valore del limite come valore della funzione nel punto $x_0$, dunque la funzione si prolunga con continuità e perciò non ci sono problemi di integrazione.
Come va con la teoria sugli integrali impropri? Si discute abbastanza presto cosa bisogna fare quando c'è un punto dell'intervallo di integrazione in cui la funzione non è definita.
Per l'altra funzione è lo stesso discorso, se il dominio è $(-1,2)$ la funzione non esiste per $x<-1$ e perciò non ha senso calcolare il limite per $x \to -1^-$; piuttosto dovresti vedere cosa succede per $x \to -1^+$.
Dovrebbe scattarti un campanello d'allarme sul fatto che c'è qualcosa che non va già dal logaritmo con argomento negativo.
Vado punto per punto:
-quindi, avendo trovato che il valore del limite è 0, posso tranquillamente integrare da 0 a 1 la funzione e calcolarmi il valore dell'area;
- per la teoria, ancora ho fatto poco, sto facendo quanto strettamente necessario per gli esercizi. So che non è ottimale, ma i tempi son stretti, purtroppo. Tuttavia, se avessi qualche link da consigliarmi, leggerò con piacere per capire l'argomento;
- per l'argomento del logaritmo, facendo il limite per x->-1+, ottengo:
$ lim_(x ->-1^+) ln((2-x)/(1+x)) $
$ lim_(x ->-1^+) ln((2-x)/(1+x)) = ln(3/0)= ? $
Mi verrebbe da dire che vale +infinito, dunque moltiplicato per +infinito di prima, dovrebbe darmi infinito...
Viceversa, se mi fosse servito il limite per x->-1-, avrei avuto ln(-infinito) che non esiste, quindi non esiste il limite e la funzione, neanche, date le CE.
"Nyzap":
- per la teoria, ancora ho fatto poco, sto facendo quanto strettamente necessario per gli esercizi.
Purtroppo, si vede.
"dissonance":
[quote="Nyzap"]
- per la teoria, ancora ho fatto poco, sto facendo quanto strettamente necessario per gli esercizi.
Purtroppo, si vede.[/quote]
Eh lo so, ma ripeto, i tempi son stretti purtroppo. Inoltre, non avendo frequentato il corso, è una salita ripida e tortuosa...
Buongiorno ragazzi,
Tra scrittura di tesi ed altro, oggi son ritornato sull'esercizio e devo dire che non ho avuto particolari problemi, se non col risultato finale, che non coincide col risultato online, nonostante il risultato dell'integrale indefinito sia corretto.
L'integrale in questione è questo:
$ int_(0)^(1) ln(1+4x^4)/(x^2) dx $
La soluzione dell'integrale indefinito è questa (confrontata anche online):
$ [-ln(1+4x^4)/(x)-ln(2x^2+2x+1)+2/tan(2x+1)+ln(2x^2-2x+1)+2/tan(2x-1)] $
Ovviamente integrato da 0 ad 1. Si evince che il primo termine, provando a sostituire 0 dia un risultato pari ad infinito, infatti per quel punto ho sostituito il limite per x->0+, che ha valore di 0.
Dalla sostituzione dei valori di 0 ed 1 ottengo qualcosa come -15.97, mentre il risolutore online porta come risultato 0.86, nonostante la soluzione dell'integrale indefinito sia uguale. Cosa c'è che non va?
Grazie...
Tra scrittura di tesi ed altro, oggi son ritornato sull'esercizio e devo dire che non ho avuto particolari problemi, se non col risultato finale, che non coincide col risultato online, nonostante il risultato dell'integrale indefinito sia corretto.
L'integrale in questione è questo:
$ int_(0)^(1) ln(1+4x^4)/(x^2) dx $
La soluzione dell'integrale indefinito è questa (confrontata anche online):
$ [-ln(1+4x^4)/(x)-ln(2x^2+2x+1)+2/tan(2x+1)+ln(2x^2-2x+1)+2/tan(2x-1)] $
Ovviamente integrato da 0 ad 1. Si evince che il primo termine, provando a sostituire 0 dia un risultato pari ad infinito, infatti per quel punto ho sostituito il limite per x->0+, che ha valore di 0.
Dalla sostituzione dei valori di 0 ed 1 ottengo qualcosa come -15.97, mentre il risolutore online porta come risultato 0.86, nonostante la soluzione dell'integrale indefinito sia uguale. Cosa c'è che non va?
Grazie...
Hai sicuramente fatto qualche errore di calcolo, stai integrando una funzione positiva in $[0,1]$ e quindi non può venirti un risultato negativo.
Mi sta venendo un dubbio: non è che hai interpretato $\tan^{-1} x$ come $\frac{1}{\tan x}$?
Perché mi sembra strano che ci siano tangenti nella primitiva di un integrale simile, di solito ci sono arcotangenti.
Ricorda che la scrittura $\tan^{-1} x$ significa $\arctan x$ e non $\frac{1}{\tan x}$.
Mi sta venendo un dubbio: non è che hai interpretato $\tan^{-1} x$ come $\frac{1}{\tan x}$?
Perché mi sembra strano che ci siano tangenti nella primitiva di un integrale simile, di solito ci sono arcotangenti.
Ricorda che la scrittura $\tan^{-1} x$ significa $\arctan x$ e non $\frac{1}{\tan x}$.
"Mephlip":
Hai sicuramente fatto qualche errore di calcolo, stai integrando una funzione positiva in $[0,1]$ e quindi non può venirti un risultato negativo.
Mi sta venendo un dubbio: non è che hai interpretato $\tan^{-1} x$ come $\frac{1}{\tan x}$?
Perché mi sembra strano che ci siano tangenti nella primitiva di un integrale simile, di solito ci sono arcotangenti.
Ricorda che la scrittura $\tan^{-1} x$ significa $\arctan x$ e non $\frac{1}{\tan x}$.
Vado a frustarmi... Son andato in automatico.
Son riuscito nell'esercizio 
In compenso ho trovato un problema in un passaggio qui:
$ int_(0)^(2) 1/(x+1)^2*ln((2-x)/(1+x)) dx $
Ha un punto di discontinuità di II specie in 2.
Ho dunque impostato l'integrale:
$ int_(0)^(2-epsilon ) 1/(x+1)^2*ln((2-x)/(1+x)) dx $
Ho pensato di risolverlo integrando per parti, con:
$ f(x) = ln((2-x)/(1+x)) $ $ f'(x) = -3/(2+x-x^2) $
$ g'(x)= 1/(x+1)^2 $ $ g(x)= -1/(x+1) $
Dunque, ottengo:
$ ln((2-x)/(1+x))*(-1/(x+1))+int 3/((x-2)(x+1)^2) dx $
Usando le frazioni parziali ottengo:
$ ln((2-x)/(1+x))*(-1/(x+1))+1/3ln(x-2)-1/3ln(x+1)+1/(x+1) $
Svolgendo l'integrale da 0 a 2, si evince che ottengo dei logaritmi di 0 che giustamente mi conducono a -infinito. Ho dunque pensato di fare il limite di quei logaritmi per x->2- come avevo fatto nell'esercizio precedente, ma ottengo soltanto una forma che mi porta a -infinito.
Come posso fare?
In compenso ho trovato un problema in un passaggio qui:
$ int_(0)^(2) 1/(x+1)^2*ln((2-x)/(1+x)) dx $
Ha un punto di discontinuità di II specie in 2.
Ho dunque impostato l'integrale:
$ int_(0)^(2-epsilon ) 1/(x+1)^2*ln((2-x)/(1+x)) dx $
Ho pensato di risolverlo integrando per parti, con:
$ f(x) = ln((2-x)/(1+x)) $ $ f'(x) = -3/(2+x-x^2) $
$ g'(x)= 1/(x+1)^2 $ $ g(x)= -1/(x+1) $
Dunque, ottengo:
$ ln((2-x)/(1+x))*(-1/(x+1))+int 3/((x-2)(x+1)^2) dx $
Usando le frazioni parziali ottengo:
$ ln((2-x)/(1+x))*(-1/(x+1))+1/3ln(x-2)-1/3ln(x+1)+1/(x+1) $
Svolgendo l'integrale da 0 a 2, si evince che ottengo dei logaritmi di 0 che giustamente mi conducono a -infinito. Ho dunque pensato di fare il limite di quei logaritmi per x->2- come avevo fatto nell'esercizio precedente, ma ottengo soltanto una forma che mi porta a -infinito.
Come posso fare?
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