Limite in $CC$
Probabilmente la risposta è più banale di quanto pensi, ma proprio non riesco a capire come si dimostra che vale il seguente limite:
$lim_{u->0} (2 \ log (sqrt(1+u) + sqrt(u)) )/(sqrt(u))=2$,
ove $u in CC$.
Ho scritto $sqrt( \ )$ per indicare la branca della radice in $CC$ per cui $sqrt(1)=1$ e $log$ per indicare la branca del logaritmo complesso per cui $ log 1=0$.
Grazie in ogni caso a chi mi aiuterà. Ciao.
$lim_{u->0} (2 \ log (sqrt(1+u) + sqrt(u)) )/(sqrt(u))=2$,
ove $u in CC$.
Ho scritto $sqrt( \ )$ per indicare la branca della radice in $CC$ per cui $sqrt(1)=1$ e $log$ per indicare la branca del logaritmo complesso per cui $ log 1=0$.
Grazie in ogni caso a chi mi aiuterà. Ciao.
Risposte
sostituendo $sqrt(u)=z$ e poi usando l'Hopital viene subito...
oppure potresti far vedere che $lim_(uto0)(sqrt(1+u)+sqrt(u))^(1/sqrt(u))=e$
oppure potresti far vedere che $lim_(uto0)(sqrt(1+u)+sqrt(u))^(1/sqrt(u))=e$
La regola di De L'Hopital si usa nel campo dei numeri reali almeno per quel che ne so ; ma qui $u in CC $ , penso si debba considerare che $u = a+ib $ con $a in RR , b in RR $ e poi...
Grazie intanto per le risposte... 
Sì ci ho pensato, il fatto è che così è un po' lunghetto e davvero brigoso...
"Camillo":
La regola di De L'Hopital si usa nel campo dei numeri reali almeno per quel che ne so ; ma qui $u in CC $ , penso si debba considerare che $u = a+ib $ con $a in RR , b in RR $ e poi...
Sì ci ho pensato, il fatto è che così è un po' lunghetto e davvero brigoso...
scusate una domanda... vorrei capire gli insiemi di definizione... forse starò facendo il pedante, ma chiarire queste cose mi pare importante...
la radice quadrata di $u$ (che compare a denominatore nel limite) come funzione di $C$, se non sbaglio, mi pare sia definita su una superficie a due fogli (perlomeno a me è stata definita così e non ne conosco altri)... e il "taglio" (o almeno uno dei possibili) ha 0 come punto di diramazione...
ora, a parte il fatto che penso si dovrebbe specificare che foglio si usa, che senso ha a questo punto considerare un intorno dello 0? forse lo si intende complessivo di due zone dei due fogli?...
insomma, non capisco come si debba intendere il limite (e nemmeno le radici quadrate)...
la radice quadrata di $u$ (che compare a denominatore nel limite) come funzione di $C$, se non sbaglio, mi pare sia definita su una superficie a due fogli (perlomeno a me è stata definita così e non ne conosco altri)... e il "taglio" (o almeno uno dei possibili) ha 0 come punto di diramazione...
ora, a parte il fatto che penso si dovrebbe specificare che foglio si usa, che senso ha a questo punto considerare un intorno dello 0? forse lo si intende complessivo di due zone dei due fogli?...
insomma, non capisco come si debba intendere il limite (e nemmeno le radici quadrate)...
ma a nessuno interessa chiarire la questione?
Anch'io apprezzerei un chiarimento sulla questione . 
"amel":
Probabilmente la risposta è più banale di quanto pensi, ma proprio non riesco a capire come si dimostra che vale il seguente limite:
$lim_{u->0} (2 \ log (sqrt(1+u) + sqrt(u)) )/(sqrt(u))=2$,
ove $u in CC$.
Ho scritto $sqrt( \ )$ per indicare la branca della radice in $CC$ per cui $sqrt(1)=1$ e $log$ per indicare la branca del logaritmo complesso per cui $ log 1=0$.
Grazie in ogni caso a chi mi aiuterà. Ciao.
Propongo una soluzione, ma è da prendere con le molle dato che ho dormito poco in questi giorni.
Pur non potendo usare i teoremi del marchese, si può scrivere per il logaritmo complesso (o forse solo per la sua branca principale, denotata col simbolo $"Ln"$) lo sviluppo in serie $Ln(1+z)=\sum_(n=1)^(+oo)(-1)^(n+1)/n z^n$ per $|z|<1$ e ricavare da ciò quanto riporto sotto:
$lim_{u->0} 2("Ln"(sqrt(1+u) + sqrt(u)) )/(sqrt(u))=lim_{u->0} 2 ("Ln"(sqrt(1+u)*(1+sqrt(u/(u+1)))) )/(sqrt(u))=lim_{u->0} 2 ("Ln"(sqrt(1+u))+"Ln"(1+sqrt(u/(u+1))) )/(sqrt(u))=$
$=lim_{u->0} 2*[("Ln"(1+u))/(2sqrt(u))+("Ln"(1+sqrt(u/(u+1))) )/(sqrt(u))]=lim_{u->0} 2*[("Ln"(1+u)*sqrtu)/(2u)+(sqrt(u/(u+1))+o(u/(u+1)) )/(sqrt(u))]=$
$=lim_{u->0} 2*[("Ln"(1+u)*sqrtu)/(2u)+(sqrt(u/(u+1)))/(sqrt(u))+(o(u/(u+1)) )/(sqrt(u))]=lim_{u->0} 2*[("Ln"(1+u)*sqrtu)/(2u)+sqrt(1/(u+1))+o(sqrtu)] =$
$=2$
[per l'ultimo passaggio basta tenere presente che risulta:
$lim_(uto 0)("Ln"(1+u))/u=1 quad => quad lim_(uto 0)("Ln"(1+u))/(2u)*sqrtu=0$,
$lim_(uto 0) sqrt(1/u+1)=1$,
$lim_(uto 0) o(sqrtu)=0$
come nel campo reale.]
Per quanto riguarda le branche da scegliere, bisogna vedere come si comportano le funzioni intorno allo $0$: evidentemente tale punto è di diramazione per la radice quadrata complessa al denominatore e però lo è pure per il numeratore (che, per inciso, ha certamente due punti di diramazione in $0,-1$ dovuti alla presenza dei radicali; altri eventuali punti di diramazione, dovuti al logaritmo, si trovano in corrispondenza delle soluzioni dell'equazione $sqrt(1+u)+sqrt(u)=0$); inoltre non si deve dimenticare di controllare il comportamento vicino allo $oo$ complesso.
Per selezionare una branca di $("ln"(sqrt(1+u)+sqrtu))/sqrtu$ bisogna quasi sicuramente "tagliuzzare" il piano complesso in qualche modo: un'analisi più approfondita potrebbe dirci se basta eliminare il segmento congiungente i punti $0,1$ oppure se bisogna eliminare delle semirette originantesi da tali punti od ancora se bisogna operare in altro modo (soprattutto per escludere altri eventuali punti di diramazione dovuti alla presenza del logaritmo).
Il problema è ad ogni buon conto complesso (:-D) e bisognerebbe studiare nel dettaglio i punti di diramazione per farsi un'idea di come procedere al riparo da grossolani errori.
"Camillo":
La regola di De L'Hopital si usa nel campo dei numeri reali almeno per quel che ne so ; ma qui $u in CC $ , penso si debba considerare che $u = a+ib $ con $a in RR , b in RR $ e poi...
sicuro?? perchè credevo che si potesse estendere anche alle funzioni a variabile complessa...
pareri/conferme??
Sicuro ? No....
Scusate se non avevo ancora risposto... vi ho letto comunque, tra feste e studio sono stato pochissimo su internet
Grazie mille soprattutto a gugo!
Proverò a leggere tutto con calma i prossimi giorni (credevo fosse tutto più semplice ).
In ogni caso se qualcuno vuole aggiungere altro mi fa un grande favore, non ho fretta comunque.
Ciao e grazie ancora a tutti.
Grazie mille soprattutto a gugo!
Proverò a leggere tutto con calma i prossimi giorni (credevo fosse tutto più semplice
).In ogni caso se qualcuno vuole aggiungere altro mi fa un grande favore, non ho fretta comunque.
Ciao e grazie ancora a tutti.
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