Limite in 3 variabili
Sto cercando di dimostrare la derivabilità della funzione $(1-cos(xy))/(x^2+y^2)$ in $(0,0)$ mediante la definizione di derivata parziale.
Se $ fx(x,y)=(ysin(xy)(x^2+y^2)+cos(xy)2x)/(x^2+y^2)^2 $, allora $ fx(0,0)=lim_(h -> 0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h= lim_(h -> 0)((1-cos(h*0))/(h^2+0^2)-(1-cos(0*0))/(0^2+0^2))/h $ . Essendoci dunque una forma indeterminata la conclusione dovrebbe essere che in $(0,0)$ la funzione non è derivabile. Tuttavia il testo dà la funzione come derivabile in tutto $R^2$.
Dove sbaglio?
Se $ fx(x,y)=(ysin(xy)(x^2+y^2)+cos(xy)2x)/(x^2+y^2)^2 $, allora $ fx(0,0)=lim_(h -> 0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h= lim_(h -> 0)((1-cos(h*0))/(h^2+0^2)-(1-cos(0*0))/(0^2+0^2))/h $ . Essendoci dunque una forma indeterminata la conclusione dovrebbe essere che in $(0,0)$ la funzione non è derivabile. Tuttavia il testo dà la funzione come derivabile in tutto $R^2$.
Dove sbaglio?
Risposte
Ciao,
l'esercizio mi incuriosisce. La funzione non è definita in $(0,0)$, che senso ha valutare la derivabilità in quel punto? Sicuro che l'esercizio non assegni un valore della funzione in $(0,0)$?
l'esercizio mi incuriosisce. La funzione non è definita in $(0,0)$, che senso ha valutare la derivabilità in quel punto? Sicuro che l'esercizio non assegni un valore della funzione in $(0,0)$?
Se magari leggessi con più attenzione le tracce senza farmi prendere dal panico di un esame imminente non farei un soldo di danno 
E farei meglio a ricordarmelo anche sul momento... 
Comunque ho risolto, grazie 
Solo una domanda già che ci sono: esiste, per le funzioni a 3 variabili, un metodo analitico per dimostrarne la differenziabilità? Sta a dire, se per le funzioni a due variabili vado a calcolarmi il $ lim_((h,k) -> (0,0))(f(h,k)-f(0,0)-fx(0,0)h-fy(0,0)k)/root()(h^2+k^2)=0 $, come opero con le funzioni in 3 variabili?
E farei meglio a ricordarmelo anche sul momento... Comunque ho risolto, grazie Solo una domanda già che ci sono: esiste, per le funzioni a 3 variabili, un metodo analitico per dimostrarne la differenziabilità? Sta a dire, se per le funzioni a due variabili vado a calcolarmi il $ lim_((h,k) -> (0,0))(f(h,k)-f(0,0)-fx(0,0)h-fy(0,0)k)/root()(h^2+k^2)=0 $, come opero con le funzioni in 3 variabili?
in tre variabili operi formalmente nello stesso modo con una complicazione in più data dalla terza variabile. Rifacendomi alla tua scrittura:
$\lim_((h,k,p)->(0,0,0)) (F(h,k,p)-F(0,0,0) -F_x(0,0,0)h-F_y(0,0,0)k-F_z(0,0,0)p)/(sqrt(h^2+k^2+p^2))=0$
$\lim_((h,k,p)->(0,0,0)) (F(h,k,p)-F(0,0,0) -F_x(0,0,0)h-F_y(0,0,0)k-F_z(0,0,0)p)/(sqrt(h^2+k^2+p^2))=0$
Lo immaginavo purtroppo.
Il purtroppo è dato dal fatto che nello studiare la differenziabilità di $f(x,y,z)=root()((x-1)yz)$ non riesco a calcolare il
Il purtroppo è dato dal fatto che nello studiare la differenziabilità di $f(x,y,z)=root()((x-1)yz)$ non riesco a calcolare il
$ lim_((x,y,z) -> (0,0,0))root()((h-1)kp)/(root()(h^2+k^2+p^2) $
niente,passando alle coordinate sferiche ottengo
e il limite non si annulla. Qualcuno più aiutarmi?
$ lim_(rho -> 0)root()((rhosintheta cosphi -1)rhosintheta sinphi \cdot rhocostheta )/root()((rho^2sin^2thetacos^2phi +rho^2sin^2theta sin^2phi+rho^2cos^2theta ))= lim_(rho -> 0)root()(sinthetacosthetasinphi (rhosinthetacosphi-1))/root()((sin^2thetacos^2phi +sin^2theta sin^2phi+cos^2theta )) $
e il limite non si annulla. Qualcuno più aiutarmi?
Chiamo u,v,w i versori dei 3 angoli, r il raggio e dopo la sostituzione ottengo:
$\sqrt((ru-1)r^2vw)/r=\sqrt((ru-1)vw)$ e si vede bene che il limite non esiste, perchè a seconda della direzione da cui arrivi (al variare di u,v e w) ottieni valori diversi, in alcuni casi addirittura non esiste (u=0,v=w=1)
E a ben pensarci è abbastanza ovvio:
La radice quadrata di una qualche funzione non è differenziabile in zero (gli manca la parte sinistra dell'intorno) e avviene lo stesso anche nel tuo caso
$\sqrt((ru-1)r^2vw)/r=\sqrt((ru-1)vw)$ e si vede bene che il limite non esiste, perchè a seconda della direzione da cui arrivi (al variare di u,v e w) ottieni valori diversi, in alcuni casi addirittura non esiste (u=0,v=w=1)
E a ben pensarci è abbastanza ovvio:
La radice quadrata di una qualche funzione non è differenziabile in zero (gli manca la parte sinistra dell'intorno) e avviene lo stesso anche nel tuo caso
ok quindi si tratta di una funzione continua e derivabile in $R^2$ ma non differenziabile?
hai scritto un "derivabile" di troppo e inoltre siamo in $R^3$ ma sottigliezze a parte hai afferrato il concetto, è continua ma non differenziabile nell'origine
giusto per $R^3$. ma nonostante
la funzione non è derivabile?
$ fx(x,y,z)=(yz)/(2root()((x-1)yz) $ ; $ fy(x,y,z)=(z(x-1))/(2root()((x-1)yz) $ ; $ fz(x,y,z)=(y(x-1))/(2root()((x-1)yz) $
$ fx(0,0,0)=lim_(h ->0)(f(0+h,0,0)-f(0,0,0))/h=(root()((h-1)0\cdot 0)-0)/h=0 $
$ fy(0,0,0)=lim_(k ->0)(f(0,0+k,0)-f(0,0,0))/k=(root()((0-1)k\cdot 0)-0)/k=0 $
$ fp(0,0,0)=lim_(p ->0)(f(0,0,0+p)-f(0,0,0))/p=(root()((0-1)0\cdot p)-0)/p=0 $
la funzione non è derivabile?
Ci tengo a precisare che non sto ricontrollando i tuoi conti, sto sviluppando i calcoli partendo dal presupposto che siano giusti. Tuttavia hai commesso degli errori su quest'ultimo post.
se non ho inteso male $f_x=(partial f)/(partial x)$ che calcolata nell'origine da $f_x(0,0,0)=0/0$ e uguale per $f_y$ e $f_z$ quindi nell'origine le derivate parziali non sono definite
se non ho inteso male $f_x=(partial f)/(partial x)$ che calcolata nell'origine da $f_x(0,0,0)=0/0$ e uguale per $f_y$ e $f_z$ quindi nell'origine le derivate parziali non sono definite
di nuovo giusto:
che per $h->0$ è $0/0$, quindi la funzione non è derivabile in $(0,0)$. Continua ma non derivabile, ivi non differenziabile.
certo che se all'esame sbaglio queste stronzate...
$ fx(0,0,0)=lim_(h ->0)(f(0+h,0,0)-f(0,0,0))/h=(root()((h-1)0\cdot 0)-0)/h=0/h $
che per $h->0$ è $0/0$, quindi la funzione non è derivabile in $(0,0)$. Continua ma non derivabile, ivi non differenziabile.
certo che se all'esame sbaglio queste stronzate...
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