Limite in 2 variabili a dir poco ostico...

[GabeChapers]

è da un anno che cerco di saldare il conto con questi limiti, cercando su libri, net e anche qui davvero non ho trovato nulla che arrivasse a aiutarmi per una cosa di questo genere:

continuità derivabilità differenziabilità in (0 0) della funzione


(x^2 y+(x+1)y^3)/(|x|^k+|y|^k ) al variare di k reale

idem sulla retta x=y della funzione

(x^2 y+(x+1)y^3)/(x+y )

potete aiutarmi?

[spifabio]

Si può dimostrare che
$0(0,0))(|x|^alpha|y|^beta)/(|x|^(alpha+beta)+|y|^(alpha+beta))<1$

e di conseguenza quando ho un limite del tipo
$lim_((x,y)->(0,0))(|x|^alpha|y|^beta)/(|x|^(alpha+beta)+|y|^(alpha+beta))*y^(\varepsilon)=0$
$lim_((x,y)->(0,0))(|x|^alpha|y|^beta)/(|x|^(alpha+beta)+|y|^(alpha+beta))*x^(\varepsilon)=0$

Da questo puoi andare a studiare per quali k quel limite fa zero

[GabeChapers]

grazie ma ho risolto

per k < 3 tipo, si può minorare con le coordinate polari
per k > 3 invece ponendo x = 0 non viene il limite