Limite in 2 variabili

[Raikton]

Salve volevo sapere come risolvere il seguente limite: $lim(x,y)->(0,0)$ $(1-cossqrt(2x^2+5y^2))/sqrt(x^2+y^2)$,so che deve fare 0 ma non so perchè,io ho provato a spezzare il limite in 2 ovvero staccando il denominatore in 2 rimanendomi cosi $1/sqrt(x^2+y^2)$ e $-cossqrt(2x^2+5y^2)/sqrt(x^2+y^2)$,in questa maniera il primo limite va a infinito ma il secondo non so come fare,ho provato anche mettendo x=0 e y=0 ma niente.

[Brancaleone1]

Ciao Raikton.
La cosa migliore che puoi fare è riscriverlo in coordinate polari secondo la nota sostituzione

${ ( x=x_0+rhocostheta ),( y=y_0+rhosintheta ):}$

con $x_0$ e $y_0$ ascissa e ordinata del punto in questione. Il limite dunque diventa con opportune semplificazioni

$lim_((x,y)->(0,0))(1-cossqrt(2x^2+5y^2))/sqrt(x^2+y^2)=lim_(rho->0^+) (1-cos(rho sqrt(2+3sin^2theta)))/rho$

[Raikton]

E quindi qui posso asserire che essendo il limite in $rho$ che il limite fa 0 per il limite notevole $(1-cosx)/x$ oppure devo fare altri passaggi per verificare? P.S il risultato è 0 ho visto i risultati

[Brancaleone1]

In realtà non basta solo ricondursi al limite notevole, ma devi anche controllare che tale limite sia uniforme (guarda qui).

[Raikton]

come posso fare in questo limite a ricondurmi al limite notevole visto che oltre $rho$ c'è altra roba che è nell'argomento del coseno?