Limite in 2 variabili

[Tom1092]

Salve, ho un esercizio in cui mi si chiede, se possibile, di calcolare il seguente limite

$lim (x,y)->(0,0) (senx(1-cosx))/(x^2+y^2)$
A me torna 0, tuttavia verificando con wolfram mi dice che il limite non esiste, poiché, riporto quanto scritto, "value may depend on x,y path in complex space".
Essendo alle prime armi, mi trovo in difficoltà nel capire il senso di questa frase, poiché si parla di spazio complesso.

Pertanto vi chiedo, senza starvi a scrivere i passaggi che ho fatto, se sto sbagliando io oppure se wolfram fa riferimento a una cosa che non c'entra con il mio problema.

Scusate magari la non formalità del mio linguaggio ma ripeto, ho appena iniziato a studiare questa parte dell'analisi.

Grazie.

[Quinzio]

Non è complicato verificare che muovendosi lungo l'asse x:
$lim_((x,0)->(0,0)) (sin x (1-cos x))/(x^2+y^2) = lim_((x,0)->(0,0)) (sin x (1-cos x))/(x^2) =0* 1/2=0$,

mentre muovendosi lungo l'asse y:

$lim_((0,y)->(0,0)) (sin x (1-cos x))/(x^2+y^2) = lim_((0,y)->(0,0)) (0)/(y^2) = 0$.

[Plepp]

@Quinzio: attenzione al seno:

"Quinzio":
$lim_((x,0)->(0,0)) (sin x (1-cos x))/(x^2+y^2) = lim_((x,0)->(0,0)) (sin x (1-cos x))/(x^2) \mathbf{= 0 \cdot 1/2=0}$

@Tom1092: Coi limiti in più variabili Wolfram fa i macelli, meglio non fidarsi. In ogni caso il tuo risultato è corretto: hai il prodotto di una funzione limitata (seno, coseno & friends) per una infinitesima ($1/(x^2+y^2)$), che a sua volta è infinitesimo

[Tom1092]

Credo che abbia invece ragione Quinzio e che il limite effettivamente non esista non pensi Plepp?

[Plepp]

No, non penso.

[Tom1092]

A scusa Plepp, davo per scontato che il limite fatto da Quinzio fosse corretto e non avevo visto la tua correzione.
Ultima domanda: che significa la scritta di wolfram allora?

[Quinzio]

Si ho corretto.

[Tom1092]

Scusate altra cosa, con questo modo abbiamo dimostrato che avvicinandoci all'origine in questi due modi il limite è lo stesso, quindi, anche alla luce di quanto leggo sul mio libro di testo, se il limite esiste è 0, non occorre far vedere in modo più formale che effettivamente il limite esiste? Nel senso in questo modo abbiamo trovato l'unico candidato a essere il limite, tuttavia nulla mi garantisce che avvicinandomi all'origine in un altro degli infiniti modi il limite sia lo stesso, potrei avvicinarmi in modo esponenziale ad esempio. Spero di essermi spiegato.

[Plepp]

"Tom1092":
Ultima domanda: che significa la scritta di wolfram allora?

Ah boh.

"Tom1092":Scusate altra cosa, con questo modo abbiamo dimostrato che avvicinandoci all'origine in questi due modi il limite è lo stesso, quindi, anche alla luce di quanto leggo sul mio libro di testo, se il limite esiste è 0, non occorre far vedere in modo più formale che effettivamente il limite esiste? Nel senso in questo modo abbiamo trovato l'unico candidato a essere il limite, tuttavia nulla mi garantisce che avvicinandomi all'origine in un altro degli infiniti modi il limite sia lo stesso, potrei avvicinarmi in modo esponenziale ad esempio. Spero di essermi spiegato.

Certo che occorre dimostrare che il limite è zero: come dici, il fatto che sia zero lungo due particolari restrizioni (nella fattispecie, lungo gli assi cartesiani) non prova nulla.

Prima mi sono distratto, ti ho scritto anch'io una bella boiata ($1/(x^2+y^2)$ non è infinitesima, tutt'altro), quindi il ragionamento che ho fatto è da buttare. In ogni caso il limite esiste ed è zero: passando in coordinate polari si ha
\[f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)=\dfrac{\sin(\rho\cos\theta)(1-\cos(\rho\cos\theta))}{\rho^2}\]
Giacché
\[|\sin(\rho\cos\theta)|\le \rho\qquad |1-\cos(\rho\cos\theta)|\le \rho^2\]
uniformemente rispetto a $\theta$ (cioè per ogni $\theta\in[0,2\pi[$), hai
\[|f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)|\le \dfrac{\rho^3}{\rho^2}=\rho\to 0\]
Ciao

[Tom1092]

Tutto chiaro grazie mille per il tempo