Limite impossibile

[fra017]

lim x->+OO $((arctg^2(x^2+x+1))-arctg^2(x^2))/(sin(1/x+1/x^3)-sin(1/x))$
quanto fa??
non riesco ad applicare taylor perchè la x tende ad infinito..

[Antimius]

Mi dispiace ma ora non posso proprio mettermi a risolverlo. Però, a primo impatto, io proverei quantomeno ad applicare De L'Hopital due volte: i calcoli sono un po' rognosi ma dovrebbero toglierti gli $arctg^2$ di mezzo.
Tolti quelli, se hai ancora bisogno di semplificare, al denominatore puoi sempre approssimare tramite Taylor poiché le quantità nell'argomento di $sin$ sono entrambe infinitesime.
Se mi viene in mente qualcos'altro, più tardi, ti farò sapere. Intanto, provaci

[ciampax]

Il numeratore lo puoi riscrivere come

[tex]$\arctan^2 a-\arctan^2 b=(\arctan a+\arctan b)(\arctan a-\arctan b)$[/tex]

con il primo termine che tende a $\pi$. Per il denominatore, se poni $t=1/x$ puoi scrivere

[tex]$\sin(t+t^3)-\sin t\sim t+t^3-t=t^3=\frac{1}{x^3}$[/tex]

per cui, ad un primo ragionamento, il limite diventa questo

[tex]$\lim_{x\to+\infty}\frac{\pi(\arctan(x^2+x+1)-\arctan x^2)}{1/x^3}=\lim_{x\to+\infty}\pi x^3\left[\arctan(x^2+x+1)-\arctan x^2]$[/tex]

e se ci pensi un attimo, l'ultimo limite che ho scritto è abbastanza facile da calcolare.