Limite impossibile *-*
Ragazzi ci ho provato in tutti i modi, ma non sono riuscito a cavare un ragno dal buco. Il limite in questione é:
$\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^(n^2)*(1/e)^n$
$\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^(n^2)*(1/e)^n$
Risposte
Quanto dovrebbe venire?
Ad occhio mi viene $1$.
Ad occhio mi viene $1$.
Derive dice $1/sqrte$ , non ho il risultato, quindi do per buono questo...
E se lo vedi come
$\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^(n*n)*(1/e)^n=\lim_{n \to \infty}((1+1/n)^n)^n*(1/e)^n$
non ti dice niente?
$\lim_{n \to \infty}(1+1/n)^(n*n)*(1/e)^n=\lim_{n \to \infty}((1+1/n)^n)^n*(1/e)^n$
non ti dice niente?
leena, il primo termine tende a $e^n$, il secondo è $e^-n$, posso semplificarli comunque? Io credo di no...
No, hai ragione..
Tipico limite da risolvere con la serie di Taylor.
Scrivi $(1+1/n)^(n^2)(1/e)^n=e^(n^2*[ln(1+1/n)-1/n])$ ed analizza il comportamento dell'esponente; ora si ha:
$n^2*[ln(1+1/n)-1/n]=(ln(1+1/n)-1/n)/(1/n^2)$
ed $1/n\to 0$ quando $n\to +oo$.
Però, visto lo sviluppo di Taylor $ln(1+x)=\sum_(n=1)^(+oo)(-1)^(n-1)/n x^n$, si ha pure:
$(ln(1+x)-x)/x^2 = \sum_(n=2)^(+oo)(-1)^(n-1)/n x^(n-2)$
$\quad \quad =-1/2+\sum_(n=3)^(+oo)(-1)^(n-1)/n x^(n-2)$
$\quad \quad =-1/2+\sum_(n=1)^(+oo)(-1)^(n+1)/(n+2) x^n$
$\quad \quad =-1/2+o(x)$
in modo che:
(*) $\quad lim_(x\to 0) (ln(1+x)-x)/x^2=lim_(x\to 0) -1/2+o(x)=-1/2 \quad$.
La (*) implica:
$lim_n n^2*[ln(1+1/n)-1/n]=lim_n (ln(1+1/n)-1/n)/(1/n^2)=-1/2 \quad$,
cosicché per la continuità dell'esponenziale si ha:
$lim_n (1+1/n)^(n^2)*(1/e)^n=e^(lim_n n^2*[ln(1+1/n)-1/n])=e^(-1/2)=1/\sqrt(e) \quad$.
Scrivi $(1+1/n)^(n^2)(1/e)^n=e^(n^2*[ln(1+1/n)-1/n])$ ed analizza il comportamento dell'esponente; ora si ha:
$n^2*[ln(1+1/n)-1/n]=(ln(1+1/n)-1/n)/(1/n^2)$
ed $1/n\to 0$ quando $n\to +oo$.
Però, visto lo sviluppo di Taylor $ln(1+x)=\sum_(n=1)^(+oo)(-1)^(n-1)/n x^n$, si ha pure:
$(ln(1+x)-x)/x^2 = \sum_(n=2)^(+oo)(-1)^(n-1)/n x^(n-2)$
$\quad \quad =-1/2+\sum_(n=3)^(+oo)(-1)^(n-1)/n x^(n-2)$
$\quad \quad =-1/2+\sum_(n=1)^(+oo)(-1)^(n+1)/(n+2) x^n$
$\quad \quad =-1/2+o(x)$
in modo che:
(*) $\quad lim_(x\to 0) (ln(1+x)-x)/x^2=lim_(x\to 0) -1/2+o(x)=-1/2 \quad$.
La (*) implica:
$lim_n n^2*[ln(1+1/n)-1/n]=lim_n (ln(1+1/n)-1/n)/(1/n^2)=-1/2 \quad$,
cosicché per la continuità dell'esponenziale si ha:
$lim_n (1+1/n)^(n^2)*(1/e)^n=e^(lim_n n^2*[ln(1+1/n)-1/n])=e^(-1/2)=1/\sqrt(e) \quad$.
"Gugo82":
Tipico limite da risolvere con la serie di Taylor.
Scrivi $(1+1/n)^(n^2)(1/e)^n=e^(n^2*[ln(1+1/n)-1/n])$ ed analizza il comportamento dell'esponente; ora si ha:
$n^2*[ln(1+1/n)-1/n]=(ln(1+1/n)-1/n)/(1/n^2)=$ (*)
Grazie Gugo, mi hai dato lo spunto per concludere l'esercizio (in realtà maniera in realtà molto più semplice).
Cioè, come tu hai suggerito pongo $1/n=x$ con $x->0+$
Allora la (*) diventa $[log(1 + x)-x]/x^2$, che io ho però risolto semplicemente applicando una volta dell'Hopital (lo so che siamo sempre là, sul fatto di poterlo applicare o meno alle successioni, ma il mio prof mi ha spiegato che si può tranquillamente fare).
Infatti $[log(1 + x)-x]/x^2 ->$ Hopital $->-x/[(1+x)2x]=-1/2$ da cui il risultato.
Ma infatti $(ln(1+x))/x^2$ non diventa quello che hai scritto tu dopo l'applicazione del teorema del marchese... Ti manca qualcosa al numeratore, ma vabbè si tratta di un errore di trascrizione.
Ad ogni modo, il teorema si può applicare (non ho mai detto il contrario) però bisogna saperlo giustificare correttamente; come passaggio non è banale.
Ad ogni modo, il teorema si può applicare (non ho mai detto il contrario) però bisogna saperlo giustificare correttamente; come passaggio non è banale.
Si scusa, ho corretto 
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