Limite importante

[zannas]

`lim_{x->oo} ln(1+1/x)*x`
`lim_{x->0} ln(1+1/x)*x`
grazie

[Sk_Anonymous]

$lim_(x->+oo)xln(1+1/x)=lim_(x->+oo)x*1/x(1+o(1))=1
oppure $=lim_(x->+oo)ln(1+1/x)^x=lne=1

[fu^2]

$lim_(xto0)xln(1+1/x)=lim_(xto0)xln(x+1)-xlnx=lim_(xto0)xln(x+1)-lim_(xto0)xlnx

ora $lim_(xto0)xln(x+1)=0$ è immediato

un pò meno immediato è vedere che $lim_(xto0)xlnx=0$ ma se si chiama $k=1/x
il limite diventa $lim_(kto+oo)1/kln(1/k)=lim_(kto+oo)1/k(ln1-lnk)=lim_(kto+oo)-lnk/k

ricordando che $k>lnkAAkinRR-{0}=>-lnk/k->0$ per $k->+oo$

quindi $lim_(xto0)xln(1+1/x)=0

[Sk_Anonymous]

"fu^2":$lim_(xto0)xln(1+1/x)=lim_(xto0)xln(x+1)-xlnx=lim_(xto0)xln(x+1)-lim_(xto0)xlnx.......

Mi pare un po' troppo complicato, io farei così $lim_(x->0^+)xln(1+1/x)=lim_(x->0^+)ln(1+1/x)^x=ln1^0=ln1=0$
Ho modificato il limite in quanto x può tendere a zero solo da destra a causa del dominio.

[amel3]

"amelia":
Mi pare un po' troppo complicato, io farei così $lim_(x->0^+)xln(1+1/x)=lim_(x->0^+)ln(1+1/x)^x=ln1^0=ln1=0$

Ma non è $lim_(x->0^+)ln(1+1/x)^x=(+oo)^0$? Voglio dire, non si resta in una forma indeterminata così? Booh, non ci capisco più nulla, mi sa che se continuo così devo ridare gli esami di analisi...

[Sk_Anonymous]

"amel":
Ma non è $lim_(x->0^+)ln(1+1/x)^x=(+oo)^0$? Voglio dire, non si resta in una forma indeterminata così? Booh, non ci capisco più nulla, mi sa che se continuo così devo ridare gli esami di analisi...

Hai ragione, mi sa che li devo ridare io!!!

Meglio questa soluzione $lim_(x->0^+)xln(1+1/x)=lim_(x->0^+)(ln(1+1/x))/(1/x)=$ con de L'Hopital $=lim_(x->0^+)(-1/(x(x+1)))/(-1/x^2)=lim_(x->0^+)x/(x+1)=0$

[zannas]

"NOKKIAN80":$lim_(x->+oo)xln(1+1/x)=lim_(x->+oo)x*1/x(1+o(1))=1

hai usato taylor anche se `x->oo`?

[zannas]

"amelia":[quote="amel"]

Meglio questa soluzione $lim_(x->0^+)xln(1+1/x)=lim_(x->0^+)(ln(1+1/x))/(1/x)=$ con de L'Hopital $=lim_(x->0^+)(-1/(x(x+1)))/(-1/x^2)=lim_(x->0^+)x/(x+1)=0$

[/quote]
praticamente hai moltiplicato arbitrariamente nominatore e denominatore per `1/x`? giusto?

[_prime_number]

Si può anche usare il limite notevole
$lim_{y \to 0} log(1 + y) /y = 1$

In questo caso la parte di $y$ la fa $1/x$

Paola

[Sk_Anonymous]

"zannas":[quote="NOKKIAN80"]$lim_(x->+oo)xln(1+1/x)=lim_(x->+oo)x*1/x(1+o(1))=1

hai usato taylor anche se `x->oo`?[/quote]

ho usato il limite notevole $lim_(f(x)->0)ln(1+f(x))/(f(x))=1+o(1)$, $f(x)=1/x

[Sk_Anonymous]

"zannas":[quote="amelia"][quote="amel"]

Meglio questa soluzione $lim_(x->0^+)xln(1+1/x)=lim_(x->0^+)(ln(1+1/x))/(1/x)=$ con de L'Hopital $=lim_(x->0^+)(-1/(x(x+1)))/(-1/x^2)=lim_(x->0^+)x/(x+1)=0$

praticamente hai moltiplicato arbitrariamente nominatore e denominatore per `1/x`? giusto?[/quote][/quote]
Quasi, ho portato x a denominatore ed è diventato $1/x$