Limite impegnativo

[lucadipd]

Ciao non riesco a risolvere questo limite, sia applicando De l'Hopital che Taylor:


$ lim_(x -> 0) (6x e^{6x+5x^2}-36x^2-sin (6x+30x^3))/ (tan (5+6x)(sinh (5x)-sin (5x))) $

[Seneca1]

"lucadipd":Ciao non riesco a risolvere questo limite, sia applicando De l'Hopital che Taylor:
$ lim_(x -> 0) (6x e^{6x+5x^2}-36x^2-sin (6x+30x^3))/ (tan (5+6x)(sinh (5x)-sin (5x))) $

Stessa osservazione dell'altro topic. Comunque il limite che consideri dovrebbe potersi ricondurre a qualcosa del tipo:

$ lim_(x -> 0) 1/ (tan (5+6x)) * (6x e^{6x}-36x^2-sin(6x))/((sinh (5x)-sin (5x))) = 1/ (tan (5)) * lim_(x -> 0) (6x e^{6x}-36x^2-sin(6x))/((sinh (5x)-sin (5x))) $

[lucadipd]

Ma così non risulta una forma indeterminata del tipo $ 0/0 $ ?

[Seneca1]

"lucadipd":Ma così non risulta una forma indeterminata del tipo $ 0/0 $ ?

Eh certo. Ma è più abbordabile se vuoi utilizzare De L'Hospital o Taylor.

[lucadipd]

Applicando Taylor, mi viene un'espressione del tipo:

$ (36x^3) / (625/3 x^3) $

Svolgendo il limite risulterebbe uguale a $ 108/(625 tan 5) $

Ho commesso degli errori?

[Seneca1]

Probabile. Come hai applicato Taylor? (posta i passaggi)

[lucadipd]

sopra

$ 6xe^(6x) $ l'ho approssimato a $ 6x+36x^2 $

$ sin(6x) $ a $ 6x-36x^3 $

poi ho semplificato e rimane $ 36x^3 $,

e sotto

$(sinh(5x)-sin(5x)) $ a $ (1/3)(5x)^3$ quindi $ (625/3)x^3 $

[Seneca1]

Facciamo le cose per bene:

$6x e^(6x) = 6x + 36x^2 + 108 x^3 + o(x^3)$

$sin(6x) = 6x - 36 x^3 + o(x^3)$

$sinh(5x) = 5x + 125/6 x^3 + o(x^3)$

$sin(5x) = 5x - 125/6 x^3 + o(x^3)$

Allora a numeratore troveresti: $6x + 36x^2 + 216 x^3 - 36 x^2 - 6x + 36 x^3 + o(x^3) = 216 x^3 + 36 x^3 + o(x^3) = 252 x^3 + o(x^3)$

A denominatore: $ 2 * 125/6 x^3 + o(x^3)$

[lucadipd]

"Seneca":Facciamo le cose per bene:

$6x e^(6x) = 6x + 36x^2 + 108 x^3 + o(x^3)$

$sin(6x) = 6x - 36 x^3 + o(x^3)$

$sinh(5x) = 5x + 125/6 x^3 + o(x^3)$

$sin(5x) = 5x - 125/6 x^3 + o(x^3)$

Allora a numeratore troveresti: $6x + 36x^2 + 216 x^3 - 36 x^2 - 6x + 36 x^3 + o(x^3) = 216 x^3 + 36 x^3 + o(x^3) = 252 x^3 + o(x^3)$

A denominatore: $ 2 * 125/6 x^3 + o(x^3)$

perfetto il tuo sviluppo! rifacendo i calcoli però non mi tornava il $ 216x^3 $ al numeratore, che io ho scritto come $ 108x^3 $, quindi:

$ 1/tan(5)*lim_(x -> 0) (144x^3)/((125/3)x^3)$ che semplificando e moltiplicando per il resto viene $ 432/(125tan(5)) $

spero sia così, intanto ti ringrazio di cuore per avermi aiutato... è stato veramente un piacere seguire la tua risoluzione!

[Seneca1]

Sì, dovrebbe essere giusto. Figurati.