LIMITE help me!!!

[marcus83]

ragazzi ho il seguente limite mi dareste una mano a risolverlo... lim x->o $(1+x^2)^((1)/(xlog(1+x))$ soluzioni a)0 b) +∞ c) e d) 1 e) nessuna delle altre risposte.

[Luca.Lussardi]

Prova a usare l'dentità $x=e^{log x}$ valida per $x>0$.

[zorn1]

E' una forma indeterminata del tipo $1^(oo)$ e conviene ricondurla al tipo $0/0$ per applicarvi la regola di De l'Hopital (funziona quasi sempre).

Trasformo la funzione con l'identità suggerita da Luca Lussardi:

$(1+x^2)^(1/(x+log(1+x)))=exp(log(1+x^2)/((x*log(1+x)))$

Quindi calcolo $l=lim_(x to 0)log(1+x^2)/((x*log(1+x))$

all'uopo calcolo, derivando numeratore e denominatore:

$l'=lim_(x to 0)(2x/(1+x^2))/(log(1+x)+x/(1+x))$

E' ancora della forma $0/0$. Derivo ulteriormente:

$l''=lim_(x to 0)((2+2x^2-4x^3)/(1+x^2)^2)/(1/(1+x)+1/(1+x)^2)=2/2=1$

Per la regola di De l'Hopital applicata due volte è:

$l''=l'=l=1$

quindi la risposta è d).

[zorn1]

Scusa avevo dimenticato di tornare all'esponenziale...

Il limite originario diveniva

$lim_(x to 0)exp(log(1+x^2)/((x*log(1+x)))$

e per quanto appurato (ed essendo l'esponenziale una funzione continua) riesce:

$e^1=e$

quindi la risposta è c) non d).

[marcus83]

grazie credo che sia proprio la risposta esatta...

[Gaal Dornick]

Puoi anche accorgertene senza applicare De L'Hopital..

infatti $lim_(x to 0)frac{log(1+x^2)}{(x*log(1+x))}=lim_(x to 0) frac{log(1+x^2)}{x^2}frac{x^2}{x*log(1+x)}=1$ per semplici limiti notevoli (dopo l'ovvia semplificazione nella seconda frazione

[zorn1]

giusto Gaal Dornick, forse non era necessario ricorrere a tanto...