Limite goniometrico

[gianbofort]

Salve a tutti. Posto un esercizio che sono riuscito a sviluppare solo fino un certo punto e voglio capire se da lí in poi posso solamente applicare de l'Hopital o c'è un qualche altro modo.

$ lim_(x->0) (sin(x^2))^(1/(ln x^2)) $

io sono arrivato fino a ricondurmi a:

$ lim_(x->0) e^((ln(sin(x^2)))/(2 ln x)) $

così da dover calcolare:

$lim_(x -> 0) (ln (sin x^2))/(2 ln x)$

[Quinzio]

Si puo' approssimare
$sin x^2 = x^2 + o(x^6)$

Si ha che:

$(log_c a)/(log_c b) = log_b a$.

Quindi

$(ln x^2)/(ln x) = log_x x^2 = k$.

Ripartiamo da qui

$log_x x^2 = k$

e trattiamo ambo i membri come esponenti di $x$:

$x^2 = x^k$,

da cui $k = $ ...

[pilloeffe]

Ciao gianbofort,

"gianbofort":voglio capire se da lí in poi posso solamente applicare de l'Hopital o c'è un qualche altro modo.

Beh, la regola del marchese de l'Hôpital ti consente di arrivare molto rapidamente alla soluzione $e $ del limite proposto, quindi se non ci sono particolari impedimenti (tipo per esempio che il docente ti ha proibito di usarla... ) la consiglierei senz'altro.

@Quinzio: non ho capito, perché usare il cambiamento di base del logaritmo?
Con $sin(x^2) = x^2 + o(x^6) $ e trascurando $o$ si ha:

$\lim_{x \to 0} [sin(x^2)]^(1/(ln(x^2))) = \lim_{x \to 0} e^{(ln[sin(x^2)])/(ln(x^2))} = \lim_{x \to 0} e^{(ln(x^2))/(ln(x^2))} = e^1 = e $

[21zuclo]

"Quinzio":Si puo' approssimare
$sin x^2 = x^2 + o(x^6)$

Si ha che:

$(log_c a)/(log_c b) = log_b a$.

Quindi

$(ln x^2)/(ln x) = log_x x^2 = k$.

Ripartiamo da qui

$log_x x^2 = k$

e trattiamo ambo i membri come esponenti di $x$:

$x^2 = x^k$,

da cui $k = $ ...

Concordo con l'utente Quinzio..

Ha solo applicato le proprietà dei logaritmi, ottenendo $ \ln_x x^2=k\to x^k=x^2\to k=2 $

quindi tornando all'espressione iniziale
$ exp((\ln(x^2))/(2\ln x))=exp(1/2\cdot 2)= e $
per $ x\to 0 $

[pilloeffe]

Ciao 21zuclo,

"21zuclo":Concordo con l'utente Quinzio..

Ha solo applicato le proprietà dei logaritmi [...]

Guarda che non ho affermato che Quinzio abbia scritto qualcosa di errato, ma non vedo la ragione di applicare la formula del cambiamento di base dei logaritmi (che comunque è corretta) semplicemente perché se ne può fare tranquillamente a meno, tutto qui...