Limite funzioni composte

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iinizio con l'enunciare il teorema del limite delle funzioni composte:
siano $f(x)$ e $g(y)$ due funzioni definite rispettivamente in A e B, con [tex] \subseteq [/tex], $x_0\in <>$ ,
$y_0\in <>$ e $l\inR$.
Inoltre sussistono le seguenti condizioni:
1. $lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=y_0\ , $$lim_{y\rightarrow y_0} g(y)=l \

2: se $y_0\inB$ e $g(y_0)\ne l$, allora per $x\ne x_0$ é $f(x)\ne y_0$.

allora risulta

$lim_{x\rightarrow x_0} g(f(x))=l$


Da questo teorema (che è di facile dimostrazione) abbiamo un paio di conseguenze per esempio

$lim_{x\rightarrow\infty} f(x)=e\ per $ $f(x)=(1+1/x)^x$
che mi salcvano in casi di forme indeterminate del tipo

$lim_{x\rightarrow 0^+} f(x)=+\infty\ e $$lim_{y\rightarrow+\infty} g(y)=e\ con $ $f(x)=1/x$ $e$ $g(y)=(1+1/y)^y$

quindi per il teorema sopra elencato si ha

$lim_{x\rightarrow 0^+} g(f(x))=e\

che avrà lo stesso valore per x che tende a $0^-$


Adesso ammesso che io abbia forme indeterminate del tipo $0^0\ $$1^\infty\ $$(+\infty)^0\
cioè che vengono da funzioni composte del tipo $[f(x)]^g(x)$ come devo comportarmi?

non si può applicare del'hopital, mom è possibile la messa in evidenza, la tecnica di sostituzione non funziona

[Darèios89]

Dipende dai vari casi.......da esempio ad esempio, non esiste una tecnica precisa...

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per esempio
$F(x)=(x/(1+e^x))^(1/x)$ $F(x)=[f(x)]^g(x)$

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il limite tende allinfinito