Limite funzione trigonometrica
Come posso risolvere questo limite?
$lim_(x->0)(1-cos^2(x^3))/(1-cos^3(x^2))cos(1/x)$
La sua forma fa pensare a limiti notevoli, e se divido e moltiplico per $x^6$ "ottengo" che la prima parte risulta $(1/2)(1/2)cos(1/x)=cos(1/x)$, ovviamente questo è un procedimento sbagliato, che prende in considerazione solo parte del limite, e porta ad una forma indeterminata. Ho provato a trasformare il coseno in seno (solo dove questo diventava $sin^2x$, poichè non è specificato che il limite tenda a $0^+$), ma infine non mi viene niente di buono, mi potete indirizzare sulla strada giusta? Eventualmente anche correggere errori di ragionamento, grazie.
$lim_(x->0)(1-cos^2(x^3))/(1-cos^3(x^2))cos(1/x)$
La sua forma fa pensare a limiti notevoli, e se divido e moltiplico per $x^6$ "ottengo" che la prima parte risulta $(1/2)(1/2)cos(1/x)=cos(1/x)$, ovviamente questo è un procedimento sbagliato, che prende in considerazione solo parte del limite, e porta ad una forma indeterminata. Ho provato a trasformare il coseno in seno (solo dove questo diventava $sin^2x$, poichè non è specificato che il limite tenda a $0^+$), ma infine non mi viene niente di buono, mi potete indirizzare sulla strada giusta? Eventualmente anche correggere errori di ragionamento, grazie.
Risposte
Non ditemi che in questo forum non c'è nessuno in grado di risolvere questo limite? 
Cos'è, tutti matematici della domenica?
Solo chi risolve questo limite è un vero ed autentico matematico!
ps: Ovviamente vi sto provocando
, ma seriamente datemi una dritta o due per favore.
Cos'è, tutti matematici della domenica?
Solo chi risolve questo limite è un vero ed autentico matematico!
ps: Ovviamente vi sto provocando
, ma seriamente datemi una dritta o due per favore.
Piuttosto scrivi
$1-\cos^2 x^3 = (1-\cos x^3)(1+\cos x^3)$,
$1-\cos^3 x^2 = (1-\cos x^2)(1+\cos x^2 + \cos^2 x^2)$,
e osserva che il secondo fattore delle due scomposizioni tende rispettivamente a $2$ e a $3$ (quindi non dà fastidio).
I limiti notevoli usali per trattare il primo fattore delle scomposizioni.
$1-\cos^2 x^3 = (1-\cos x^3)(1+\cos x^3)$,
$1-\cos^3 x^2 = (1-\cos x^2)(1+\cos x^2 + \cos^2 x^2)$,
e osserva che il secondo fattore delle due scomposizioni tende rispettivamente a $2$ e a $3$ (quindi non dà fastidio).
I limiti notevoli usali per trattare il primo fattore delle scomposizioni.
"Rigel":
Piuttosto scrivi
$1-\cos^2 x^3 = (1-\cos x^3)(1+\cos x^3)$,
$1-\cos^3 x^2 = (1-\cos x^2)(1+\cos x^2 + \cos^2 x^2)$,
e osserva che il secondo fattore delle due scomposizioni tende rispettivamente a $2$ e a $3$ (quindi non dà fastidio).
I limiti notevoli usali per trattare il primo fattore delle scomposizioni.
$(1-\cos x^3)/x^6 (1+\cos x^3) x^4/((1-\cos x^2)(1+\cos x^2 + \cos^2 x^2))((cos(1/x)-1)/(1/x^2)+1/(1/x^2))$
$1/(1/x^2)=x^2=0$
$(1-\cos x^3)/x^6 (1+\cos x^3)=1/2 2=1$
$ x^4/((1-\cos x^2)(1+\cos x^2 + \cos^2 x^2))=2/3$
$(cos(1/x)-1)/(1/x^2)=-1/2$
$1 2/3 (-1/2)=-1/3$
Il risultato dovrebbe essere 0, per cui sono sicuro che sto sbagliado qualcosa.
Stai sbagliando per il fatto che non puoi usare i limiti notevoli sul termine $\cos\frac{1}{x}$, che è una funzione limitata ma che non ammette limite per $x\to 0$.
Devi semplicemente osservare che hai una funzione del tipo $f(x) \cos\frac{1}{x}$; usando (come hai già fatto) i limiti notevoli per la parte $f(x)$, dimostri che $\lim_{x\to 0} f(x) = 0$.
Poi ti devi solo ricordare che se hai due funzioni, delle quali una è limitata e l'altra ha limite nullo, allora il limite del prodotto vale $0$.
In questo caso, se vuoi farlo esplicitamente col criterio del confronto:
$-|f(x)| \le f(x) \cos\frac{1}{x} \le |f(x)|$.
Dal momento che $\lim_{x\to 0} |f(x)| = 0$ segue che $\lim_{x\to 0} f(x) \cos\frac{1}{x} = 0$.
Devi semplicemente osservare che hai una funzione del tipo $f(x) \cos\frac{1}{x}$; usando (come hai già fatto) i limiti notevoli per la parte $f(x)$, dimostri che $\lim_{x\to 0} f(x) = 0$.
Poi ti devi solo ricordare che se hai due funzioni, delle quali una è limitata e l'altra ha limite nullo, allora il limite del prodotto vale $0$.
In questo caso, se vuoi farlo esplicitamente col criterio del confronto:
$-|f(x)| \le f(x) \cos\frac{1}{x} \le |f(x)|$.
Dal momento che $\lim_{x\to 0} |f(x)| = 0$ segue che $\lim_{x\to 0} f(x) \cos\frac{1}{x} = 0$.
Ti ringrazio molto Rigel, sei stato di grande aiuto!
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