Limite funzione sospetto
Ciao a tutti!
Questa volta ho trovato un problema nel calcolare il limite di una funzione. Essendo la funzione discontinua in 1 e in 4, calcolo i limiti anche in questi 2 punti arrivando da destra e sinistra.
La funzione è $x / (x^2 - 5x + 4)$
Probabilmente sto facendo qualche sbaglio con gli $0^+$ e gli $0^-$
Io ho seguito questo procedimento:
$lim_(x->1^+) 1^+ / ((1^+)^2 - 5^+ +4) $
trovandomi poi 1^+ / 0 il risultato mi sembra debba essere +inf.
Le soluzioni invede dicono che deve essere -inf. La cosa che non mi torna è che calcolando la stessa cosa con il 4 a me il conto viene identico e questa volt il testo mi da ragione nel risultato +inf. Non vedo però nessuna differenza rispetto a quando uso 1, cambiano i numeri ma il denominatore mi viene sempre 0.
Sapete dirmi cosa ho sbagliato in questo limite con 1? Grazie
Questa volta ho trovato un problema nel calcolare il limite di una funzione. Essendo la funzione discontinua in 1 e in 4, calcolo i limiti anche in questi 2 punti arrivando da destra e sinistra.
La funzione è $x / (x^2 - 5x + 4)$
Probabilmente sto facendo qualche sbaglio con gli $0^+$ e gli $0^-$
Io ho seguito questo procedimento:
$lim_(x->1^+) 1^+ / ((1^+)^2 - 5^+ +4) $
trovandomi poi 1^+ / 0 il risultato mi sembra debba essere +inf.
Le soluzioni invede dicono che deve essere -inf. La cosa che non mi torna è che calcolando la stessa cosa con il 4 a me il conto viene identico e questa volt il testo mi da ragione nel risultato +inf. Non vedo però nessuna differenza rispetto a quando uso 1, cambiano i numeri ma il denominatore mi viene sempre 0.
Sapete dirmi cosa ho sbagliato in questo limite con 1? Grazie
Risposte
$x=1$ e $x=4$ sono gli zeri di $x^2-5x+4$
Disegna il grafico della funzione e guarda cosa succede nei tre intervalli $(-oo,1)$ , $(1,4)$, $(4,+oo)$
Disegna il grafico della funzione e guarda cosa succede nei tre intervalli $(-oo,1)$ , $(1,4)$, $(4,+oo)$
guarda a me al liceo hanno insegnato a leggere diversamente questo tipo di limiti, cioè quando $x->c^+, x->c^-$, proprio per evitare di fare errori con il calcolo dei segni dell'infinito. Il metodo è questo qui:
Poichè noi vogliamo conoscere il segno dell'infinito quando ci avviciniamo ad un certo punto di "discontinuità", da destra e da sinistra, andiamo a studiare il segno della funzione, cioè poniamo $f(x)>0$. Fatto questo e studiati i segni dovremmo capire in base al grafico delle soluzioni il segno dell'infinito.
E' un pò difficile da spiegare a parole, ma se segui il procedimento che ti ho detto, noterai che sul grafico, la funzione per $04$ è positiva, mentre è negativa tra $11^+$ avremo $-oo$, perchè la funzione in quell'intervallo è negativa.
Poichè noi vogliamo conoscere il segno dell'infinito quando ci avviciniamo ad un certo punto di "discontinuità", da destra e da sinistra, andiamo a studiare il segno della funzione, cioè poniamo $f(x)>0$. Fatto questo e studiati i segni dovremmo capire in base al grafico delle soluzioni il segno dell'infinito.
E' un pò difficile da spiegare a parole, ma se segui il procedimento che ti ho detto, noterai che sul grafico, la funzione per $0
Fattorizza il denominatore in $(x-1)(x-4) $ adesso è più semplice calcolare il limite in quanto hai $x/((x-1)(x-4) $ e quindi se $x rarr 1 $ hai solo da valutare $x-1 $ che chiaramente tende a $0^(+)$ se $ x rarr 1^(+) $ mentre il resto della frazione vale $-1/3 $ e quindi il limite è $-oo $. ovviamnete se $ x rarr 1^(-) $ il limite sarà $+oo $.
Dire che vi adoro è poco XD
In particolare ho deciso di far mio il metodo "grafico" perchè rende tutto semplice in ogni situazione.
Grazie a tutti
In particolare ho deciso di far mio il metodo "grafico" perchè rende tutto semplice in ogni situazione.
Grazie a tutti
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