Limite funzione in due variabili

[freddofede]

Si dimostri, usando la definizione di limite:

$\lim_{(x,y)->(1,1)}=\frac{(x-1)^{5}-(x-1)^{2}-3(y-1)^{2}}{x^{2}+3y^{2}-2(x+3y-2)}=-1$

[void1]

Posto $f(x,y) = \frac{(x-1)^5-(x-1)^2-3(y-1)^2}{x^2+3y^2-2(x+3y-2)}$, si nota che $x^2+3y^2-2(x+3y-2) = (x-1)^2+3(y-1)^2$, indi $f(x,y) = \frac{(x-1)^5-(x-1)^2-3(y-1)^2}{(x-1)^2+3(y-1)^2}$. Si deve mostrare che $\lim_{(x,y) \to (1,1)} f(x,y) = -1$. Sia $\varepsilon > 0$ reale. Preso $\delta < \varepsilon^{\frac{1}{3}}$, sia $U_\delta \sub \mathbb R^2$ un intorno di $(1,1) \in \mathbb R^2$ tale che $(x,y) \in U_\delta \iff 0 < |x-1| < \delta$.
Per $(x,y) \in U_\delta $ si ha $| f(x,y) - (-1) | = | \frac{(x-1)^5-(x-1)^2-3(y-1)^2 + (x-1)^2+3(y-1)^2}{(x-1)^2+3(y-1)^2} | = | \frac{(x-1)^5}{(x-1)^2+3(y-1)^2} | \leq |x-1|^3 < \delta^3 < \varepsilon$.
Dunque, per ogni $\varepsilon > 0$ reale, esiste un intorno $U_\delta$ di $(1,1)$ tale che $(x,y) \in U_\delta \implies |f(x,y)-(-1)| < \varepsilon$.

[freddofede]

Ok. Questo comunque mi dà l'idea che ci sia un'errore sul Marcellini Sbordone, il quale rimanda a un esercizio precedente in cui si prende un limite esplicito di $\delta$. Grazie.

[franced]

"void":
...
Posto $f(x,y) = \frac{(x-1)^5-(x-1)^2-3(y-1)^2}{x^2+3y^2-2(x+3y-2)}$, si nota che
$x^2+3y^2-2(x+3y-2) = (x-1)^2+3(y-1)^2$
...

Io a questo punto farei un cambio di variabili:

$X = x - 1$

$Y = y - 1$

in questo modo le cose si semplificano un po'.

Chiaramente sarà $(X;Y) -> (0;0)$