Limite funzione in due variabili
Devo provare che $ \lim_{(x,y) \to (1,0)} \frac{y^2lnx}{(x-1)^2+y^2}=0 $
Ho scritto la funzione in coordinate polari minorata di 0 in valore assoluto $ |f(\rho,\theta)-0|=\frac{\rho^2sen^2\theta|ln(1+\rhocos\theta)|}{(1+\rhocos\theta-1)^2+\rho^2cos^2\theta}= sen^2\theta|ln(1+\rhocos\theta)| $
Ho proseguito con le maggiorazioni alla ricerca di una funzione radiale infinitesima
$ sen^2\theta|ln(1+\rhocos\theta)|\le| ln(1+\rhocos\theta)| $
A questo punto volevo usare la maggiorazione
$ ln(1+\rhocos\theta)\le \rhocos\theta $
Ma con il valore assoluto risulta essere verificata solo per $ \rhocos\theta >0 $ e non per ogni loro valore. Come posso fare?
Grazie
Ho scritto la funzione in coordinate polari minorata di 0 in valore assoluto $ |f(\rho,\theta)-0|=\frac{\rho^2sen^2\theta|ln(1+\rhocos\theta)|}{(1+\rhocos\theta-1)^2+\rho^2cos^2\theta}= sen^2\theta|ln(1+\rhocos\theta)| $
Ho proseguito con le maggiorazioni alla ricerca di una funzione radiale infinitesima
$ sen^2\theta|ln(1+\rhocos\theta)|\le| ln(1+\rhocos\theta)| $
A questo punto volevo usare la maggiorazione
$ ln(1+\rhocos\theta)\le \rhocos\theta $
Ma con il valore assoluto risulta essere verificata solo per $ \rhocos\theta >0 $ e non per ogni loro valore. Come posso fare?
Grazie
Risposte
Ciao! Rimarrei in coordinate cartesiane. Dopo aver considerato il modulo, nota che $(x-1)^2+y^2 \ge y^2$.
Giusto! Grazie. Avrei un altro problema. Devo verificare che $ \lim_{(x,y) \to (0, 0)} \frac{xseny}{\sqrt(x^2+y^2)} $ non esiste. Ho già verificato i limiti delle restrizioni della funzione sul fascio $ y=mx $ , sulla retta $ x=0 $, sul fascio di parabole $ y=mx^2 $ e $ x=my^2 $. In particolare:
$ f(x,mx)=\frac{xsen(mx)}{|x|\sqrt(1+m^2)}~ \frac{mx^2}{|x|\sqrt(1+m^2)} = \frac{m|x|}{\sqrt(1+m^2)}->0 $
$ f(x,mx^2)=\frac{xsen(mx^2)}{|x|\sqrt(1+m^2x^2)}~ \frac{mx^3}{|x|\sqrt(1+m^2x^2)}->0 $
$ f(my^2,y)=\frac{my^2sen(y)}{|y|\sqrt(1+m^2y^2)}~ \frac{my^3}{|y|\sqrt(1+m^2y^2)}->0 $
$ f(0,y)=0 $
Ho anche facilmente trovato una funzione maggiorante. Il problema è che questo limite non deve esistere. Su quali altre restrizioni potrei provare? Come faccio ad accorgermi che un limite può non esistere anche dopo aver provato tutte queste curve? Se non sapessi che questo limite non esistesse non ci sarei mai arrivato.
$ f(x,mx)=\frac{xsen(mx)}{|x|\sqrt(1+m^2)}~ \frac{mx^2}{|x|\sqrt(1+m^2)} = \frac{m|x|}{\sqrt(1+m^2)}->0 $
$ f(x,mx^2)=\frac{xsen(mx^2)}{|x|\sqrt(1+m^2x^2)}~ \frac{mx^3}{|x|\sqrt(1+m^2x^2)}->0 $
$ f(my^2,y)=\frac{my^2sen(y)}{|y|\sqrt(1+m^2y^2)}~ \frac{my^3}{|y|\sqrt(1+m^2y^2)}->0 $
$ f(0,y)=0 $
Ho anche facilmente trovato una funzione maggiorante. Il problema è che questo limite non deve esistere. Su quali altre restrizioni potrei provare? Come faccio ad accorgermi che un limite può non esistere anche dopo aver provato tutte queste curve? Se non sapessi che questo limite non esistesse non ci sarei mai arrivato.
Prego! Non riesci a dimostrare che non esiste perché è falso: quel limite esiste ed è $0$. Suggerimento: per ogni $t \in \mathbb{R}$ è $|\sin t| \le |t|$.
Mai fidarsi degli altri, neanche dei docenti!/libro di testo! Sono mezzo ironico: chiaramente è estremamente più probabile che un docente/libro di testo abbia ragione a causa dell'inesperienza che può avere uno studente, ma non è questo il caso. Bisogna sempre dimostrarle le cose, perciò se c'è una fallacia nella dimostrazione del docente/libro di testo individuarla è molto istruttivo (anche se non è vero che c'è un errore, è pur sempre uno studio critico perché si cerca di capire perché alcune cose funzionano e altre no, anche le idee che ci vengono in mente).
In ogni caso, non ci sono regole generale per il calcolo dei limiti in più variabili a parte i casi più semplici: l'unica è sperare di trovare una restrizione che fa tendere la funzione a due limiti diversi.
"TS778LB":
Il problema è che questo limite non deve esistere. Su quali altre restrizioni potrei provare? Come faccio ad accorgermi che un limite può non esistere anche dopo aver provato tutte queste curve? Se non sapessi che questo limite non esistesse non ci sarei mai arrivato.
Mai fidarsi degli altri, neanche dei docenti!/libro di testo! Sono mezzo ironico: chiaramente è estremamente più probabile che un docente/libro di testo abbia ragione a causa dell'inesperienza che può avere uno studente, ma non è questo il caso. Bisogna sempre dimostrarle le cose, perciò se c'è una fallacia nella dimostrazione del docente/libro di testo individuarla è molto istruttivo (anche se non è vero che c'è un errore, è pur sempre uno studio critico perché si cerca di capire perché alcune cose funzionano e altre no, anche le idee che ci vengono in mente).
In ogni caso, non ci sono regole generale per il calcolo dei limiti in più variabili a parte i casi più semplici: l'unica è sperare di trovare una restrizione che fa tendere la funzione a due limiti diversi.
Forse sbaglio l'input su Wolfram Alpha
Sisi per la maggiorazione ho proprio usato $ |seny|\le|y| $
Lascia stare Wolfram Alpha per svariate cose, soprattutto per i limiti in più variabili. Non stai sbagliando l'input, è che lavora coi numeri complessi e presumibilmente il comportamento di quella funzione per $(x,y) \to (0,0)$ è diverso se $x$ e $y$ sono variabili complesse (o se ha codominio $\mathbb{C}$, quindi potrebbe interpretarla addirittura come funzione da $\mathbb{C}^2$ in $\mathbb{C}$). Va bene usare la disuguaglianza $|\sin y | \le |y|$ per dimostrare che il limite che hai proposto è $0$.
Ho fatto un po' di ricerche e molti riscontrano problemi con Wolfram Alpha per limite in due variabili in cui compiano seno e coseno. Grazie ancora per tutto
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