Limite funzione e continuità

Godjackal
Ciao a tutti :)
Avrei bisogno di aiuto per chiarire dei dubbi prima di un esame.

In un esame passato è capitato quest'esercizio:

Data la seguente funzione:

$f(x) = e^((|x|+2)/(3-|x|))$

1b) Stabilire se esiste una funzione h, continua sull'intervallo $(-oo,-3]$, tale che h(x) = f(x) $AAx in$$(-oo,-3)$

1c) Calcolare, se esiste, $lim_(x ->-3^-)$ $f'(x)$

Allora, la prima richiesta non so proprio da dove cominciare spero mi possiate aiutare a capire come procedere :(
Mentre per la seconda ho provato a risolverla ma confrontando con i risultati di un programma sbaglio alcuni calcoli :(
Ho provato a risolverla cosi:

$f'(x)=$ $(5e^((|x|+2)/(3-|x|))*sgn(x))/(3-|x|)^2$ Già da qui i miei calcoli sono sbagliati perchè il computer imposta il denominatore a $(|x|-3)^2$ e non riesco a capire perchè.

Ora dato che sto considerando i valori di $x<0$ la funzione posso considerarla cosi:
$f'(x)=$ $(-5e^((2-x)/(x+3)))/(x+3)^2$

sostituisco $(2-x)/(x+3) = y$ $x = (2-3y)/(y+1)$ dove per $x->-3^-$ $y->-oo$

$lim_(y->-oo)$ $(-5e^y)/(5/(y+1))^2$

$lim_(y->-oo)$ $(-5e^y)/(25/(y^2+2y+1))$

$lim_(y->-oo)$ $(-e^y) *(y^2+y+1)/5$ dove $y^2+2y+1$~$y^2$

$lim_(y->-oo)$ $-e^y(y^2)/5 = 0^-$ Perchè per confronto tra infiniti l'esponenziale tende a infinito più velocemente della potenza.

Sbaglio qualcosa?
Ciao, a presto :)

Risposte
j18eos
Ricordati che la definizione di valore assoluto è [tex]$|x|=\begin{cases}x\iff x\geq0\\-x\iff x<0\end{cases}$[/tex], utilizzala altrimenti non puoi fare nulla!

Mi spiego: [tex]$f(x)=\begin{cases}e^{\frac{x+2}{3-x}}\iff x\geq0\\\hdots\iff x<0\end{cases}$[/tex]!

Godjackal
Ma l'ho fatto dopo aver calcolato la derivata :)
Dato che stavo considerando i valori di un intorno di $-3$ ho sostituito la variabile all'interno dei moduli con -x.

j18eos
Conviene farlo prima, anche per evitare confusioni! Poi così riesci a risolvere subito il punto (1.b)!

Godjackal
Quindi vorresti dire che la risposta alla 1b) sarebbe:

$f(x)= {(e^((2-x)/(x+3)) if x<-3),(),(0 if x = -3) :} $

Grazie dell'attenzione a presto :)

j18eos
Prego, di nulla! ;)

Comunque non mi sono sforzato di controllare tutto per vi della comodità che ti ho mostrato. :-|

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