Limite funzione due variabili

[avmarshall]

salve a tutti. ho fatto il seguente limite e vorrei sapere se quello che ho fatto è giusto. l'esercizio dice di calcolare il seguente limite:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (e^((x^3)y)-1)/(x^2 +y^2) $
intanto ho provato a verificare che non esista restringendo la funzione al fascio di rette passante per (0,0) e verificare che il nuovo limite dipenda dal parametro (niente di tutto questo perchè il limite viene 0)
calcolo allora il limite usando le coordinate polari e facendo le opportune sostituzioni e applicando un limite notevole ottendo che il limite viene 0.
è giusto il procedimento?

[girdav]

Per $|x^3y|\leq 1$ si ha $|e^{x^3y}-1|=|\int_0^{x^3y}e^t dx|\leq |x^3y|\max_{-1\leq t\leq 1}e^t=|x^3y| e$ e dopo si può utilizzare $\frac{|x^3y|}{x^2+y^2}\leq |xy|\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}$ e concludere.

[avmarshall]

sse magari potresti illustrare quello che hai fatto te ne sarei grato.
Grazie comunque per la risposta

[girdav]

Cosa è che non capisci?

[avmarshall]

ho capito che hai fatto il limite usando delle disuguaglianze. Tuttavia non capisco quando passi all`integrale. Puoi farlo queato passaggio? Se si potresti spiegarmi meglio hai scelto proprio quell`integrale? Grazie

[girdav]

Si ha per $a$ e $b$ due reali $e^b-e^a=\int_a^b e^t dt$ dunque $|e^b-e^a|\leq |b-a|\max_I e^t$ dove $I$ è l'intervalllo $[\min(a,b),\max(a,b)]$.