Limite funzione due variabili

[gaussina_91]

Salve...sto avendo problemi con questo limite:
$lim_((x,y)->(0,0)) (x^2*y^2)/(x^2+y^6)$
Ho visto che se il limite esiste deve essere zero...così ho sostituito le coordinate polari ed ho ottenuto che
$/(\rho^2*cos^2(\theta)*sin^2(\theta))/(cos^2(\theta)+\rho^4*sin^6(\theta))|$<$|\rho^2/(cos^2(theta)+\rho^4*sin^6(theta))|$
Ora potrei dire che siccome cio che ho ottenuto tende a 0 per $\rho->0$ potrei concludere dicendo che il limite tende a 0. Però c'è un dubbio che mi assilla...se proseguo con un altra maggiorazione il risultato non dovrebbe cambiare giusto? Quindi:
$|\rho^2/(cos^2(theta)+\rho^4*sin^6(theta))|$<$|\rho^2/(\rho^4*sin^6(theta))|$=$|1/(\rho^2*sin^6(theta))|$ che però non tende a 0 quando $\rho->0$.
Quindi qual è il metodo corretto? E perchè? Grazie mille....

[Rigel1]

Proseguendo con le maggiorazioni il risultato può cambiare, nel senso che, se la maggiorazione è troppo rozza, puoi ottenere una quantità che non tende a \(0\) (anche se quella di partenza tende a \(0\)).
Nel caso in questione si può osservare che
\[
\frac{x^2}{x^2+y^6}\cdot y^2 \leq y^2,
\]
dunque la funzione tende a \(0\) per \((x,y)\to (0,0)\).

[gaussina_91]

Ok....ci sono...quindi sempre meglio riuscir a dimostrarlo con la definizione per togliere ogni dubbio giusto? Grazie mille....