Limite funzione di due variabili

[cenzmascia]

Limiti funzioni di due variabili
Salve ragazzi, vorrei sapere se qualcuno sa dimostrarmi questa proposizione.

Condizione necessaria affinché una funzione F(x,y) ammetta limite L per (x,y)->(x0,y0) è che per ogni curva regolare di equazioni parametriche
x(t), y(t)

passanti per (x0,y0) in corrispondenza ad un valore t0 (cioè tali che (x0,y0) = (x(t0),y(t0)) ) risulti che

lim per t->t0 di F(x(t),y(t)) = L

Indico con e (epsilon) con d (delta)
Io dovrei dimostrare che per ogni e>0 esiste un d tale che se |t-t0| < d, allora | F(x(t),y(t)) - L |
Vorrei capire come può essere scelto delta.Grazie.

[Giuly191]

Non mi sembra tu abbia le idee molto chiare!
Quello che devi dimostrare non è quello che hai scritto (quello che hai scritto è l'ipotesi della proposizione, tu sai già che per ogni $epsilon$ esiste $delta$ ecc. ecc.).
Devi dimostrare invece che se non è soddisfatta quell'ipotesi, allora sicuramente il limite non esiste. Per questo non ci vuole molto, c'è un teorema molto importante che parla di unicità del limite ed ha una validità molto generale, nel tuo caso calza a pennello..

[cenzmascia]

L'ipotesi è che F(x,y) tende a L per (x,y)-->(x0,y0).
Quello che voglio riuscire a dimostrare è che il limite per t che tende a t0 della funzione composta F(x(t),y(t)) è L.

[Giuly191]

"cenzmascia":L'ipotesi è che F(x,y) tende a L per (x,y)-->(x0,y0).

Magari di un'altra proposizione, ma non di quella che hai scritto!
In ogni caso per dimostrare quello che hai scritto nell'ultimo post ti viene sempre in aiuto l'unicità!
Però ripeto, per dimostrare la proposizione che hai scritto non devi fare quello che stai facendo!
Infatti la proposizione che hai proposto parla di una condizione necessaria, tu stai cercando di dimostrare quella sufficiente!

[cenzmascia]

Non so se sono io che mi sono spiegato male.
Non mi serve l'unicità. Certo quella vale per i limiti di funzioni di una, due o n variabili.

Nella mia proposizione voglio dimostrare che:

Ipotesi: ho una funzione f(x,y) che tende a L per (x,y)-->(x0,y0)

Tesi: per ogni curva regolare di equazioni parametriche x(t) e y(t) passante per (x0,y0) (in corrispondenza della quale esiste un t0 reale tale che x(t0)=x0 e y(t0) = y0)
allora si ha che la funzione composta f(x(t),y(t))

f(x(t),y(t)) --> L per t-->t0

[Giuly191]

Dimostrazione:
supponiamo per assurdo che esista una curva $ul(phi)(t)$ tale che $ul(phi)(t_0)=(x_0,y_0)$ (dove $(x_0,y_0)$ è il punto in cui stai studiando il limite di $f(x,y)$) e il limite per $t->t_0$ di $f(ul(phi)(t))!=L$. Per l'unicità del limite possiamo concludere che il limite di $f$ per $(x,y)->(x_0,y_0)$ non esiste, contraddicendo la tesi.
Ti ripeto per l'ultima volta che questa NON è la dimostrazione della proposizione che hai scritto all'inizio di questa pagina..

[cenzmascia]

Sono d'accordo con questo che hai appena scritto. Se esiste una curva tale che il limite della funzione composta F(x(t),y(t)) è diverso da L è giusto che il limite della F(x,y) non esiste.
Ma io intendevo dimostrare che se F(x,y) ammette limite, su ogni curva il limite è lo stesso.

[Giuly191]

Se leggi bene io ho dimostrato proprio quello..

[cenzmascia]

Per contraddire la tesi dovresti dimostrare che F(x,y) per (x,y)-->(x0,y0) non tende a L supponendo per assurdo che esista una curva tale che lim f(x(t),y(t)) è diverso da L.
Forse sarò un po' stanco. Provo a vedere se i tuoi suggerimenti mi possono ispirare per arrivare alla soluzione.
Grazie

[Giuly191]

Mi preoccupa un po' il fatto che tu non veda che la soluzione è quella; poi non ho capito perchè hai riscritto quello che ho fatto!
Comunque figurati, ma cerca di capire che questa proposizione spesso non si enuncia nemmeno, ma si cita direttamente facendo esercizi sui limiti proprio perchè è veramente banale!
In ogni caso la parola chiave è unicità del limite, se devi riflettere su qualcosa fallo su questo!