Limite funzione di due variabili
L'esercizio chiede di calcolare il limite di un a funzione $ f(x,y) $ per $ (x,y) to (0,0) $. Ora io l'ho risolto, e il risultato torna, però volevo essere sicuro dei passaggi fatti. Avrei potuto usare le polari...ma ho preferito seguire il suggerimento del libro...ovvero farlo con il confronto.
$ lim_((x,y) to (0,0)) (1-cos(xy))/(x^2 + y^6) $
Ora io ho fatto i seguenti passi:
$ (x,y) to (0,0) => cos(xy) to 1 $
Quindi:
$ f(x,y)>= 0 $
Allora ho cercato una funzione $ g(x,y) $ per usare il criterio del confronto.
$ f(x,y)= (1-cos(xy))/(x^2 + y^6) = (1- cos^2(xy))/ ((x^2 +y^6)(1+cos(xy))) = (sen^2(xy))/((x^2 +y^6)(1+cos(xy))) $
Ora sfrutto il fatto che $(x,y) to (0,0) => cos(xy) to 1 $ quindi avrò:
$ f(x,y)= (1-cos(xy))/(x^2 + y^6) = (sen^2(xy))/((x^2 +y^6)(1+cos(xy))) <= (sen^2(xy)) /(x^2 +y^6) = (sen(xy))/(xy) (sen(xy))/(xy) (x^2 y^2) /(x^2+y^6) ~~ (x^2 y^2)/(x^2 + y^6)=((x^2)/(x^2+y^6)) y^2<= y^2<= (x^2 + y^2) $
$ =((x^2)/(x^2+y^6)) y^2<= y^2<= x^2 + y^2 $
Presa $g(x,y)= (x^2 + y^2)$ ho che $(x,y) to (0,0) => g(x,y) to 0 $
Quindi $ (x,y) to (0,0) => 0<= f(x,y)<= 0 = g(x,y) $
Allora posso dire che il limite esiste ed è $ l=0 $
$ lim_((x,y) to (0,0)) (1-cos(xy))/(x^2 + y^6) $
Ora io ho fatto i seguenti passi:
$ (x,y) to (0,0) => cos(xy) to 1 $
Quindi:
$ f(x,y)>= 0 $
Allora ho cercato una funzione $ g(x,y) $ per usare il criterio del confronto.
$ f(x,y)= (1-cos(xy))/(x^2 + y^6) = (1- cos^2(xy))/ ((x^2 +y^6)(1+cos(xy))) = (sen^2(xy))/((x^2 +y^6)(1+cos(xy))) $
Ora sfrutto il fatto che $(x,y) to (0,0) => cos(xy) to 1 $ quindi avrò:
$ f(x,y)= (1-cos(xy))/(x^2 + y^6) = (sen^2(xy))/((x^2 +y^6)(1+cos(xy))) <= (sen^2(xy)) /(x^2 +y^6) = (sen(xy))/(xy) (sen(xy))/(xy) (x^2 y^2) /(x^2+y^6) ~~ (x^2 y^2)/(x^2 + y^6)=((x^2)/(x^2+y^6)) y^2<= y^2<= (x^2 + y^2) $
$ =((x^2)/(x^2+y^6)) y^2<= y^2<= x^2 + y^2 $
Presa $g(x,y)= (x^2 + y^2)$ ho che $(x,y) to (0,0) => g(x,y) to 0 $
Quindi $ (x,y) to (0,0) => 0<= f(x,y)<= 0 = g(x,y) $
Allora posso dire che il limite esiste ed è $ l=0 $
Risposte
si ... forse è più semplice considerare che
\begin{align}
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos xy}{x^2+y^2 }&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos xy}{x^2y^2 }\cdot\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{ 1}{2}\cdot\frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \\
&\le\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{ 1}{2}\cdot\frac{x^2y^2}{x^2 } =\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{ 1}{2}\cdot\frac{x^2y^2}{x^2 } =\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{ 1}{2}\cdot y^2 =0
\end{align}
\begin{align}
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos xy}{x^2+y^2 }&=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos xy}{x^2y^2 }\cdot\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{ 1}{2}\cdot\frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \\
&\le\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{ 1}{2}\cdot\frac{x^2y^2}{x^2 } =\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{ 1}{2}\cdot\frac{x^2y^2}{x^2 } =\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{ 1}{2}\cdot y^2 =0
\end{align}
Grazie...infatti mi sembrava un po' troppo lungo il mio ragionamento... 
Appena postato il messaggio...ho letto un altro topic dove c'era un limite simile (in una variabile sola) e dove applicando lo stesso limite notevole si otteneva la stessa soluzione evitando tutti i conti che mi sono fatto...il fatto è che mentre lo stavo facendo il limite notevole $ lim_(x to 0) (1-cosx)/x^2=1/2 $ non mi era proprio venuto in mente...
Appena postato il messaggio...ho letto un altro topic dove c'era un limite simile (in una variabile sola) e dove applicando lo stesso limite notevole si otteneva la stessa soluzione evitando tutti i conti che mi sono fatto...il fatto è che mentre lo stavo facendo il limite notevole $ lim_(x to 0) (1-cosx)/x^2=1/2 $ non mi era proprio venuto in mente...
l'importante è che cmq al risultao ci sei arrivato!
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