Limite funzione di 2 variabili
Salve a tutti, mi servirebbe un aiuto per capire come affrontare una determinata tipologia di limiti con funzioni di due variabili in cui compaiono anche funzioni trigonometriche:
\(\displaystyle f(x,y)=\frac{ysinx}{x^{2}+3y^{2}} \)
Dovrei capire se la funzione è continua.
Effettuo il limite a 0 (passando in coordinate polari):
\(\displaystyle lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{ysinx}{x^{2}+3y^{2}}=lim_{\rho\rightarrow0}\frac{\rho sin\theta sin\left[\rho cos\theta\right]}{\rho^{2}cos^{2}\theta+3\rho^{2}sin^{2}\theta}=lim_{\rho\rightarrow0}\frac{sin\theta sin\left[\rho cos\theta\right]}{\rho(1+2sin^{2}\theta)} \)
A questo punto il mio professore ha detto:
a) Se \(\displaystyle cos\theta \) è 0 allora anche il limite converge a 0. (E questo va bene)
b) Se \(\displaystyle sin\theta \) è uguale a 0 anche in questo caso il limite converge a 0 (E questo va bene)
c) Se \(\displaystyle cos\theta \) è DIVERSO da 0:
Si ha quindi:
\(\displaystyle lim_{\rho\rightarrow0}\frac{sin\theta sin\left[\rho cos\theta\right]}{\rho(1+2sin^{2}\theta)}=lim_{\rho\rightarrow0}\frac{sin\theta sin\left[\rho cos\theta\right](\rho cos\theta)}{\rho(1+2sin^{2}\theta)(\rho cos\theta)}=lim_{\rho\rightarrow0}\frac{sin\left[\rho cos\theta\right]}{(\rho cos\theta)}\frac{sin\theta(\rho cos\theta)}{\rho(1+2sin^{2}\theta)}=lim_{\rho\rightarrow0}\frac{sin\left[\rho cos\theta\right]}{(\rho cos\theta)}\frac{sin\theta cos\theta}{1+2sin^{2}\theta}=lim_{\rho\rightarrow0}\frac{sin\theta cos\theta}{1+2sin^{2}\theta} \)
Da cui si conclude che il limite non esiste unico, e quindi la funzione non p continua nel punto considerato.
Ma la mia domanda è:
Il punto C, non dovrebbe verificarsi sia che \(\displaystyle cos\theta \) che \(\displaystyle sin\theta \) siano ENTRAMBI diversi da 0?? Perchè solamente uno dei 2??
Grazie molte.
Distinti saluti
\(\displaystyle f(x,y)=\frac{ysinx}{x^{2}+3y^{2}} \)
Dovrei capire se la funzione è continua.
Effettuo il limite a 0 (passando in coordinate polari):
\(\displaystyle lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{ysinx}{x^{2}+3y^{2}}=lim_{\rho\rightarrow0}\frac{\rho sin\theta sin\left[\rho cos\theta\right]}{\rho^{2}cos^{2}\theta+3\rho^{2}sin^{2}\theta}=lim_{\rho\rightarrow0}\frac{sin\theta sin\left[\rho cos\theta\right]}{\rho(1+2sin^{2}\theta)} \)
A questo punto il mio professore ha detto:
a) Se \(\displaystyle cos\theta \) è 0 allora anche il limite converge a 0. (E questo va bene)
b) Se \(\displaystyle sin\theta \) è uguale a 0 anche in questo caso il limite converge a 0 (E questo va bene)
c) Se \(\displaystyle cos\theta \) è DIVERSO da 0:
Si ha quindi:
\(\displaystyle lim_{\rho\rightarrow0}\frac{sin\theta sin\left[\rho cos\theta\right]}{\rho(1+2sin^{2}\theta)}=lim_{\rho\rightarrow0}\frac{sin\theta sin\left[\rho cos\theta\right](\rho cos\theta)}{\rho(1+2sin^{2}\theta)(\rho cos\theta)}=lim_{\rho\rightarrow0}\frac{sin\left[\rho cos\theta\right]}{(\rho cos\theta)}\frac{sin\theta(\rho cos\theta)}{\rho(1+2sin^{2}\theta)}=lim_{\rho\rightarrow0}\frac{sin\left[\rho cos\theta\right]}{(\rho cos\theta)}\frac{sin\theta cos\theta}{1+2sin^{2}\theta}=lim_{\rho\rightarrow0}\frac{sin\theta cos\theta}{1+2sin^{2}\theta} \)
Da cui si conclude che il limite non esiste unico, e quindi la funzione non p continua nel punto considerato.
Ma la mia domanda è:
Il punto C, non dovrebbe verificarsi sia che \(\displaystyle cos\theta \) che \(\displaystyle sin\theta \) siano ENTRAMBI diversi da 0?? Perchè solamente uno dei 2??
Grazie molte.
Distinti saluti
Risposte
Beh, da
$\lim_{\rho \to 0^+} {\sin \theta \sin (\rho \cos \theta)}/{\rho (1+2\sin^2\theta)}$
ti accorgi che qualunque sia il valore di $\cos \theta$ (o $\sin \theta$) - sia esso uguale o diverso da $0$ - il numeratore tende a $0$ perché inglobato insieme a $\rho$ nel $\sin (\rho \cos \theta) \to \sin (0 \cos \theta)=0$. Comunque la risoluzione risulta più semplice maggiorando:
$\lim_{\rho \to 0^+} {|\sin \theta| |\sin (\rho |\cos \theta|)|}/{\rho (1+2\sin^2\theta)} \le \rho / {\rho (1+2\sin^2\theta)} = 1/{1+2\sin^2\theta}$
e ti accorgi che il limite non esiste perché dipende da $\theta$
$\lim_{\rho \to 0^+} {\sin \theta \sin (\rho \cos \theta)}/{\rho (1+2\sin^2\theta)}$
ti accorgi che qualunque sia il valore di $\cos \theta$ (o $\sin \theta$) - sia esso uguale o diverso da $0$ - il numeratore tende a $0$ perché inglobato insieme a $\rho$ nel $\sin (\rho \cos \theta) \to \sin (0 \cos \theta)=0$. Comunque la risoluzione risulta più semplice maggiorando:
$\lim_{\rho \to 0^+} {|\sin \theta| |\sin (\rho |\cos \theta|)|}/{\rho (1+2\sin^2\theta)} \le \rho / {\rho (1+2\sin^2\theta)} = 1/{1+2\sin^2\theta}$
e ti accorgi che il limite non esiste perché dipende da $\theta$
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