Limite funzione di 2 variabili
Salve potreste aiutarmi nello svolgimento di questo limite?
Risposte
Posta un tentativo, così capiamo quali problemi incontri o dove sbagli....
Calcolo il limite con y=0
$lim_(x->0)f(x,0)$=
$lim_(x->0)(0*log(2+ (x*0)/(x^2+0^2)))$= $lim_(x->0)(0*log(2+ 0))$= $lim_(x->0)(0)= 0$
Calcolo il limite con x=0
$lim_(y->0)f(0,y)$=
$lim_(y->0)(y*log(2+ (0*y)/(0^2+y^2)))$= $lim_(y->0)(y*log(2+ 0))$= $lim_(y->0)(y*log2)= 0$
l1=l2 quindi il limite della funz esiste per (x,y)->(0,0) ed è 0
E' esatto?
$lim_(x->0)f(x,0)$=
$lim_(x->0)(0*log(2+ (x*0)/(x^2+0^2)))$= $lim_(x->0)(0*log(2+ 0))$= $lim_(x->0)(0)= 0$
Calcolo il limite con x=0
$lim_(y->0)f(0,y)$=
$lim_(y->0)(y*log(2+ (0*y)/(0^2+y^2)))$= $lim_(y->0)(y*log(2+ 0))$= $lim_(y->0)(y*log2)= 0$
l1=l2 quindi il limite della funz esiste per (x,y)->(0,0) ed è 0
E' esatto?
Il procedimento è sbagliato.
Il limite di una funzione a due variabili si può calcolare impiegando le coordinate polari
\(\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x,y) = \lim_{\rho \rightarrow 0^{+}} f(\rho, \theta) \)
attraverso la sostituzione:
\(\displaystyle \begin{cases} x=x_0 + \rho \cos \theta \\ y=y_0 + \rho \sin \theta \end{cases} \)
Il limite, se esiste, è unico: questo vuol dire che, qualunque direzione noi prendiamo per avvicinarci al punto in esame, il limite è sempre lo stesso, cioé non cambia "se prendo un'altra strada", che equivale a dire non cambia "se mi avvicino con un'angolazione diversa". Perciò se il limite dipende da $\theta$ vuol dire che esso non esiste.
Ricorda inoltre che puoi ricorrere alle maggiorazioni. Ad esempio, poiché $| \cos \theta |$ e $| \sin \theta |$ sono sempre $\le 1$, allora puoi scrivere al loro posto $1$ (nei casi leciti).
Esempio banale:
$\lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)} \frac{y}{x}= \lim_{\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{\rho \sin \theta}{\rho \cos \theta} = \lim_{\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \le \lim_{\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\cos \theta} \Rightarrow$ il limite non esiste, perché dipende da $\theta$
Ricorda infine che se non riesci a dimostrare una maggiorazione non significa che il limite non esiste! Nel caso, puoi affidarti al metodo delle restrizioni. Per dimostrare che un limite per $(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)$ non esiste è sufficiente determinare due curve che passano per il punto in esame, lungo le quali la funzione tende a due limiti diversi. Stessa conclusione se la restrizione a una particolare curva non ammette limite.
Esempio banale:
$\lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)} \frac{y}{x}$
1) Impiego la retta $y=x$
$\Rightarrow \frac{x}{x} = 1$
2) Impiego la retta $y=-x$
$\Rightarrow \frac{-x}{x} = -1$
$\Rightarrow$ il limite non esiste.
Nota che con il metodo delle restrizioni non si può dimostrare l'esistenza del limite.
Ora prova a calcolarlo.
Il limite di una funzione a due variabili si può calcolare impiegando le coordinate polari
\(\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x,y) = \lim_{\rho \rightarrow 0^{+}} f(\rho, \theta) \)
attraverso la sostituzione:
\(\displaystyle \begin{cases} x=x_0 + \rho \cos \theta \\ y=y_0 + \rho \sin \theta \end{cases} \)
Il limite, se esiste, è unico: questo vuol dire che, qualunque direzione noi prendiamo per avvicinarci al punto in esame, il limite è sempre lo stesso, cioé non cambia "se prendo un'altra strada", che equivale a dire non cambia "se mi avvicino con un'angolazione diversa". Perciò se il limite dipende da $\theta$ vuol dire che esso non esiste.
Ricorda inoltre che puoi ricorrere alle maggiorazioni. Ad esempio, poiché $| \cos \theta |$ e $| \sin \theta |$ sono sempre $\le 1$, allora puoi scrivere al loro posto $1$ (nei casi leciti).
Esempio banale:
$\lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)} \frac{y}{x}= \lim_{\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{\rho \sin \theta}{\rho \cos \theta} = \lim_{\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \le \lim_{\rho \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\cos \theta} \Rightarrow$ il limite non esiste, perché dipende da $\theta$
Ricorda infine che se non riesci a dimostrare una maggiorazione non significa che il limite non esiste! Nel caso, puoi affidarti al metodo delle restrizioni. Per dimostrare che un limite per $(x,y) \rightarrow (x_0, y_0)$ non esiste è sufficiente determinare due curve che passano per il punto in esame, lungo le quali la funzione tende a due limiti diversi. Stessa conclusione se la restrizione a una particolare curva non ammette limite.
Esempio banale:
$\lim_{(x,y) \rightarrow (0, 0)} \frac{y}{x}$
1) Impiego la retta $y=x$
$\Rightarrow \frac{x}{x} = 1$
2) Impiego la retta $y=-x$
$\Rightarrow \frac{-x}{x} = -1$
$\Rightarrow$ il limite non esiste.
Nota che con il metodo delle restrizioni non si può dimostrare l'esistenza del limite.
Ora prova a calcolarlo.
ci riprovo
$lim_(x,y->0,0)(y*log(2+ (x*y)/(x^2+y^2)))$
Per studiare l'esistenza del limite utilizzo le coordinate polari
\(\displaystyle \begin{cases} x=x_0 + \rho \cos \theta \\ y=y_0 + \rho \sin \theta \end{cases} \)
nel mio caso
\(\displaystyle \begin{cases} x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{cases} \)
il limite diventa
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ (rhocostheta*rhosintheta)/((rhocostheta)^2+(rhosintheta)^2)) = $
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ (rho*(costheta*sintheta)/((rho)^2((costheta)^2+(sintheta)^2))) =$
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ (rho*(costheta*sintheta)/(rho)^2))=$
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ ((costheta*sintheta)/(rho)))$
Posso dire che il limite non dipende da $theta$ dunque esiste e posso calcolarlo facilmente andandolo a studiare per le restrizioni
$lim_(x,y->0,0)(y*log(2+ (x*y)/(x^2+y^2)))$
Per studiare l'esistenza del limite utilizzo le coordinate polari
\(\displaystyle \begin{cases} x=x_0 + \rho \cos \theta \\ y=y_0 + \rho \sin \theta \end{cases} \)
nel mio caso
\(\displaystyle \begin{cases} x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{cases} \)
il limite diventa
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ (rhocostheta*rhosintheta)/((rhocostheta)^2+(rhosintheta)^2)) = $
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ (rho*(costheta*sintheta)/((rho)^2((costheta)^2+(sintheta)^2))) =$
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ (rho*(costheta*sintheta)/(rho)^2))=$
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ ((costheta*sintheta)/(rho)))$
Posso dire che il limite non dipende da $theta$ dunque esiste e posso calcolarlo facilmente andandolo a studiare per le restrizioni
"diff":
il limite diventa
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ (rhocostheta*rhosintheta)/((rhocostheta)^2+(rhosintheta)^2)) = $
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ (rho*(costheta*sintheta)/((rho)^2((costheta)^2+(sintheta)^2))) =$
Il passaggio è sbagliato (svista)
"diff":
Posso dire che il limite non dipende da $theta$ dunque esiste e posso calcolarlo facilmente andandolo a studiare per le restrizioni
No! Le restrizioni sono un'altra cosa: servono solo per dimostrare che un limite non esiste, non hanno altra applicazione: non permettono il calcolo effettivo del limite.
Una volta messo a posto il passaggio ti basta semplicemente calcolarlo, lascia perdere le restrizioni.
Ok grazie riposto
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ (rhocostheta*rhosintheta)/((rhocostheta)^2+(rhosintheta)^2)) = $
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ (rho^2*(costheta*sintheta)/((rho)^2((costheta)^2+(sintheta)^2))) =$
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ (rho^2*(costheta*sintheta)/(rho)^2))=$
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ costheta*sintheta)= 0$
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ (rhocostheta*rhosintheta)/((rhocostheta)^2+(rhosintheta)^2)) = $
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ (rho^2*(costheta*sintheta)/((rho)^2((costheta)^2+(sintheta)^2))) =$
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ (rho^2*(costheta*sintheta)/(rho)^2))=$
$lim_(rho->0) rhosintheta*log(2+ costheta*sintheta)= 0$
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