Limite funzione composta(Topologia)

[anto_zoolander]

$(X,T_X)$ e $(Y,T_Y)$ e $(Z,T_Z)$ spazi topologici $f:X->Y$ e $g:Y->Z$ funzioni

se valgono le seguenti affermazioni

- $lim_(x->x_0)f(x)=l$

- $l$ di accumulazione per $Y$ e $f$ è diversa da $l$ in almeno un intorno bucato di $x_0$

- $lim_(x->l)g(x)=l'$

allora $lim_(x->l)(gcircf)(x)=lim_(x->l')g(x)$

definizione che uso

$lim_(x->x_0)f(x)=l$ se $(forallA inT_X,l inA)(exists B inT_Y,x_0 inB): f(x) inA,forallx in Bsetminus{l}capY$

se $f->l$ per $x->x_0$ e $g->l'$ se $x->l$ allora facciamo queste considerazioni

fisso $A$ intorno di $l'$ in $T_Z$ da cui esisterà $B$ intorno di $l$ in $T_Y$ tale che

$g(x) inA,forallx inBsetminus{l}capY$

$B$ è intorno di $l$ pertanto esisterà $C$ intorno di $x_0$ in $T_X$ tale che

$f(x) inB,forallx inAsetminus{x_0}capX$

sia $U$ tale intorno in cui $f(x)nel,forallx inU$
Chiaramente $AcapU$ è ancora intorno di $x_0$ contenuto in $A$ e in $U$

$x in(AcapU)setminus{x_0}capX=> f(x) inB wedge f(x)nel => f(x) inBsetminus{l}capY=> g(f(x)) inA$

in poche parole l'ipotesi a cui si deve fare attenzione maggiormente è che la funzione 'interna' sia distinta dal limite in almeno un intorno del punto.

per esempio consideriamo $y=sin(1/x)$ per $x-> +infty$ ma non esiste alcun intorno di $+infty$ in cui $sin(1/x)$ sia diversa da $0$ in tutto l'intorno quindi qualsiasi sia $g:[-1,1]->RR$ alla funzione $g(sin(1/x))$ non si può applicare questo teorema.

[vict85]

Quella definizione te la sei inventata o l'hai presa da qualche parte? Stai cercando di generalizzare la definizione di analisi 1 al caso generico? Generalmente la convergenza su spazi topologici qualsiasi si analizza usando metodi differenti (successioni, reti e/o ultrafiltri).

[anto_zoolander]

Me la sono inventata sostanzialmente, a quanto pare.
Si l’idea di fondo era quella, generalizzare la definizione
È totalmente sbagliata come posizione?
Tra l’altro penso che per farla in questo modo dovrei assumere che gli spazi siano almeno di Hausdorff

[otta96]

Mi sa che più che altro hai scambiato il ruolo del dominio e codominio, prova a guardare qua per un confronto.

[vict85]

"otta96":Mi sa che più che altro hai scambiato il ruolo del dominio e codominio, prova a guardare qua per un confronto.

Penso che si tratti solo di un errore di battitura: \( A\in T_X\) e \(l \in A\) non vanno d'accordo con il fatto che \(l\in Y\). Se scambi le \(X\) con le \(Y\) tutto si aggiusta.

[anto_zoolander]

Si esattamente! Basta scambiare $T_X,T_Y$ nello spoiler, scusate!

La dimostrazione vi sembra corretta?

Ero partito dalla definizione di continuità simile a quella usata(eccettuato l’intorno bucato) per il limite, ovvero

$f:X->Y$ continua in $X$ se

[size=105]$forallz inX(forallA inT_Y,f(z) inA,exists B inT_X, z inB:f(XcapB)subseteqA)$[/size]

Chiaramente so che non è questa la principale definizione di continuità di una funzione tra spazi topologici.
C’è qualche relazione, negli spazi topologici stessi, tra queste due definizioni?