Limite funzione a due variabili
$ lim ( x,y ) to ( 0,0 ) (x^2*y^3)/(x^4+y^4) $ esiste?
Risposte
Secondo te?
Secondo me no perché poi passando in coordinate polari non riesco ad effettuare una maggiorazione che mi elimini la dipendenza da alfa.
Suggerimento:
\[ a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2 a^2 b^2 \]
Passando in forma polare potrebbe esserti utile
(Sto implicitamente dicendo che il limite esiste)
\[ a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2 a^2 b^2 \]
Passando in forma polare potrebbe esserti utile
(Sto implicitamente dicendo che il limite esiste)
Quindi suppongo che sia 0
Esatto. Prova a rivedere i tuoi calcoli in forma polare e pensa a come potresti usare la relazione che ti ho suggerito.
Però comunque non riesco a trovare una maggiorazione adeguata. Mi potresti dire qualcosa in piu
Certo, ma mi scrivi l'ultimo passaggio che ti ritrovi nel provare a risolvere l'esercizio? Se posso parto da lì invece di risolverlo in maniera completamente diversa.
Arrivati qua non riesco a trovare la maggiorazione:
$ r^5 ( (cos a)^2* (sin a)^3)/(r^4-2r^4(sin a)^2*(cos a)^2)$
$ r^5 ( (cos a)^2* (sin a)^3)/(r^4-2r^4(sin a)^2*(cos a)^2)$
in coordinate polari
$\rho\to 0$
$ (rho^2 \cos^2\theta \rho^3 \sin^3 \theta)/(\rho^4(cos^4\theta+\sin^4\theta))=(\rho^5 \cos^2\theta \sin^3\theta)/(\rho^4(cos^4\theta+\sin^4\theta)) $
ad esercitazione quando ad analisi 2 avevamo fatto i limiti, l'esercitatore ci aveva detto che il coseno e il seno, si annullano per valori diversi, quindi in questo caso il denominatore non si annulla mai..
quindi puoi dire $cos^4\theta+\sin^4\theta> C$, ove $C$ è una costante $C>0$
quindi ti ritrovi a dire che (semplificando i $\rho$)
$ \rho|(\cos^2\theta \sin^3 \theta)/(cos^4\theta+\sin^4\theta) |\leq (\rho)/(C) \to 0 $ per $\rho\to 0$
p.s.: se ho sbagliato correggetemi
$\rho\to 0$
$ (rho^2 \cos^2\theta \rho^3 \sin^3 \theta)/(\rho^4(cos^4\theta+\sin^4\theta))=(\rho^5 \cos^2\theta \sin^3\theta)/(\rho^4(cos^4\theta+\sin^4\theta)) $
ad esercitazione quando ad analisi 2 avevamo fatto i limiti, l'esercitatore ci aveva detto che il coseno e il seno, si annullano per valori diversi, quindi in questo caso il denominatore non si annulla mai..
quindi puoi dire $cos^4\theta+\sin^4\theta> C$, ove $C$ è una costante $C>0$
quindi ti ritrovi a dire che (semplificando i $\rho$)
$ \rho|(\cos^2\theta \sin^3 \theta)/(cos^4\theta+\sin^4\theta) |\leq (\rho)/(C) \to 0 $ per $\rho\to 0$
p.s.: se ho sbagliato correggetemi
Partendo dal tuo suggerimento giungo a $ r/2 * ( tan 2a ) ^2 * sin a $
E da questo suppongo che non esiste
non ti piace la mia soluzione?..il limite esiste ed è nullo..
No è che vorrei capire meglio il perché
Te lo ha già spiegato 55sarah: quella parte trigonometrica al denominatore non si annulla mai: infatti
il che vorrebbe dire che il membro di sinistra, sicuramente positivo (al più nullo), dovrebbe essere uguale a quello di destra, sicuramente negativo (al più nullo ma non contemporaneamente al membro di sinistra). Ciò però è impossibile, quindi quella quantità non si annullerà mai, e la puoi sostituire con una costante $Theta : Theta >= cos^4(theta)+sin^4(theta)$ - per definizione è ovvio che $Theta ne 0$.
Al numeratore invece la maggiorazione è semplicissima:
perché è ovvio che
In questo modo lo svolgimento è
Ps: Questo limite si può risolvere senza fare neanche un calcolo. La funzione infatti è positivamente omogenea di grado 1: ciò basta per affermare che il limite esiste e vale $0$.
$cos^4(theta)+sin^4(theta)=0$
$=>cos^4(theta)=-sin^4(theta)$
il che vorrebbe dire che il membro di sinistra, sicuramente positivo (al più nullo), dovrebbe essere uguale a quello di destra, sicuramente negativo (al più nullo ma non contemporaneamente al membro di sinistra). Ciò però è impossibile, quindi quella quantità non si annullerà mai, e la puoi sostituire con una costante $Theta : Theta >= cos^4(theta)+sin^4(theta)$ - per definizione è ovvio che $Theta ne 0$.
Al numeratore invece la maggiorazione è semplicissima:
$rho^5 cos^2(theta)sin^3(theta) <= rho^5 $
perché è ovvio che
$cos^2(theta)<=1$
$sin^3(theta)<=1$
In questo modo lo svolgimento è
$lim_((x,y)->(0,0)) (x^2 cdot y^3)/(x^4+y^4)=(rho^5 cos^2(theta)sin^3(theta))/(rho^4 (cos^4(theta)+sin^4(theta)))<=rho/Theta=0$
Ps: Questo limite si può risolvere senza fare neanche un calcolo. La funzione infatti è positivamente omogenea di grado 1: ciò basta per affermare che il limite esiste e vale $0$.
\[
\frac{\rho^5 \cos^2 \theta \sin^3 \theta}{\rho^4(cos^4 \theta + \sin^4 \theta)} = \rho \frac{\cos^2 \theta \sin^3 \theta}{cos^4 \theta + \sin^4 \theta} = \\
\ \\
= \rho \frac{\cos^2 \theta \sin^3 \theta}{(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \rho \frac{\cos^2 \theta \sin^3 \theta}{1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta} \leq \\
\ \\
\leq 2 \cdot \rho \cos^2 \theta \sin^3 \theta
\]
E la funzione in \(\displaystyle \theta \) è limitata
\frac{\rho^5 \cos^2 \theta \sin^3 \theta}{\rho^4(cos^4 \theta + \sin^4 \theta)} = \rho \frac{\cos^2 \theta \sin^3 \theta}{cos^4 \theta + \sin^4 \theta} = \\
\ \\
= \rho \frac{\cos^2 \theta \sin^3 \theta}{(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \rho \frac{\cos^2 \theta \sin^3 \theta}{1 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta} \leq \\
\ \\
\leq 2 \cdot \rho \cos^2 \theta \sin^3 \theta
\]
E la funzione in \(\displaystyle \theta \) è limitata
Grazie mille
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