Limite funzione a due variabili

[colorblind993]

Salve,

mi servirebbe una mano con questo esercizio, un limite di funzione a due variabili :

$lim_((x,y) ->(0,0) ) ( (-|x|^(alpha+1)+e^(2ln|y|))/((2|x|+3|y|)^alpha) )e^(-(x^2+y^2) $

Ciò che devo cercare è il valore di questo limite al variare di $ alpha $ . Dato che è la prima volta che incontro un esercizio di questo tipo, mi sarebbe molto utile sapere se il mio modo di procedere è corretto.

Prima di tutto noto che $e^(-(x^2+y^2)) rarr 1$ e quindi lo trascuro e che $e^(2ln|y|)=|y|^2 $. Successivamente spezzo la frazione e studio indipendentemente :

$ -(|x|^(alpha+1))/((2|x|+3|y|)^alpha) $ e $ (|y|^2)/((2|x|+3|y|)^alpha) $ .

Ora utilizzo le coordinate polari e ottengo :
$ { ( x=rhocos vartheta ),(y=rho sin vartheta ):} $

$ |rho|^(alpha+1)|cos^(alpha+1) vartheta|/((2|rho||cos vartheta|+3|rho||sin vartheta|)^alpha$
che è uguale a
$ (|rho|^(alpha+1)/|rho|^(alpha))* g(vartheta) = |rho|*g(vartheta) rarr 0$ $ AA vartheta, alpha $ perché (credo) $ g(vartheta) $ si mantiene limitata.

Quindi il valore del limite originale non dipende dal primo "pezzo" della frazione, passiamo al secondo. Con le stesse operazioni e considerazioni giungo ad ottenere :

$ |rho|^(2-alpha) * h(vartheta) $

che ha limite se $ alpha != 2 $. Inoltre se $0<=alpha<2$ il limite è $0$ mentre se $alpha>2$ il limite è $+oo$

E' corretto?

[Quinzio]

Mi sembra (non ho verificato) che $-1<=\alpha<2$.
In ogni caso dovresti studiare $\alpha<0$.

[colorblind993]

Ho dimenticato di dire che lo studio era solo per $ alpha >=0 $ ... ma al di là del risultato il procedimento è corretto?