Limite funzione a due variabili
sto cominciando adesso questo tipo di limiti quindi alcune cose non le so
$lim_((x,y)->(0,0)) (xy^2)/(4x^2 + y^4)$
so che ci sono diversi modi per risolverlo ma non ho ancora la dimestichezza necessaria.
di solito vedo che si fanno tendere $x$ e $y$ a $0$ separatamente e se i limiti coincidono allora per la funzione il limite esiste (condizione necessaria?)
oppure si passa in coordinate polari e facendo il limite ciò "che resta" non deve dipendere da $theta$
oppure a $y$ si sostituiscono funzioni con diversa coefficiente angolare e si vede se i limiti dipendono da esso, ovverosia se coincidono.
io ho provato a risolverlo così:
$lim_((x,y)->(0,0)) (xy^2)/(4x^2 + y^4)$ => $lim_(rho -> 0) (rho^3 *costheta * sin^2theta)/(4rho^2 cos^2theta + rho^4 sin^4theta)$ => $lim_(rho -> 0) (rho *costheta * sin^2theta)/(4cos^2theta + rho^2 sin^4theta)$
e se faccio tendere $rho$ a $0$ dovrebbe fare zero ma non è così
se invece faccio i limiti di $x$ e $y$ separatamente vengono fuori diversi
come risolvo?
$lim_((x,y)->(0,0)) (xy^2)/(4x^2 + y^4)$
so che ci sono diversi modi per risolverlo ma non ho ancora la dimestichezza necessaria.
di solito vedo che si fanno tendere $x$ e $y$ a $0$ separatamente e se i limiti coincidono allora per la funzione il limite esiste (condizione necessaria?)
oppure si passa in coordinate polari e facendo il limite ciò "che resta" non deve dipendere da $theta$
oppure a $y$ si sostituiscono funzioni con diversa coefficiente angolare e si vede se i limiti dipendono da esso, ovverosia se coincidono.
io ho provato a risolverlo così:
$lim_((x,y)->(0,0)) (xy^2)/(4x^2 + y^4)$ => $lim_(rho -> 0) (rho^3 *costheta * sin^2theta)/(4rho^2 cos^2theta + rho^4 sin^4theta)$ => $lim_(rho -> 0) (rho *costheta * sin^2theta)/(4cos^2theta + rho^2 sin^4theta)$
e se faccio tendere $rho$ a $0$ dovrebbe fare zero ma non è così
se invece faccio i limiti di $x$ e $y$ separatamente vengono fuori diversi
come risolvo?
Risposte
se i limiti di $x$ e $y$ vengono diversi allora concludi che il limite non esiste
quindi mi basta che un metodo dia risposta negativo e non devo indagare oltre?
se invece i limiti di $x$ e $y$ fossero risultati uguali allora era sicuro che il limite esisteva?
cosa ho sbagliato nella risoluzione per mezzo delle coordinate polari?
se invece i limiti di $x$ e $y$ fossero risultati uguali allora era sicuro che il limite esisteva?
cosa ho sbagliato nella risoluzione per mezzo delle coordinate polari?
forse hai capito le cose al contrario...
il limite esiste se il suo valore è lo stesso lungo quasiasi direzione, quindi se ci sono 2 direzioni che danno un risultato diverso allora il limite sicuramente non esiste. La condizione su $x$ ed $y$ è solo necessaria ma non sufficiente perchè le direzioni possibili sono infinite: è in questo caso che devi indagare oltre.
Con le coordinate polari invece il limite esiste se $f(rho,theta) to 0$ indipendentemente da $theta$, se invece il valore a cui tende il limite per $rho$ dipende dal valore di $theta$ allora il limite della funzione non esiste
il limite esiste se il suo valore è lo stesso lungo quasiasi direzione, quindi se ci sono 2 direzioni che danno un risultato diverso allora il limite sicuramente non esiste. La condizione su $x$ ed $y$ è solo necessaria ma non sufficiente perchè le direzioni possibili sono infinite: è in questo caso che devi indagare oltre.
Con le coordinate polari invece il limite esiste se $f(rho,theta) to 0$ indipendentemente da $theta$, se invece il valore a cui tende il limite per $rho$ dipende dal valore di $theta$ allora il limite della funzione non esiste
ok quindi uso i vari metodi per provare a vedere se il limite non esiste....
nel caso tutti imetodi che ho usato mi portano a pensare che il limite esiste come lo trovo? mi basta fare il passaggio al limite normale e lungo una qualsiasi direzione o vi sono altri modi?
nel caso tutti imetodi che ho usato mi portano a pensare che il limite esiste come lo trovo? mi basta fare il passaggio al limite normale e lungo una qualsiasi direzione o vi sono altri modi?
per le funzioni di più variabili non esistono regole ben precise che valgono in generale: si usa la strada più semplice che porta al risultato, se il limite esiste deve ovviamente essere lo stesso indipendentemente dal modo in cui lo si calcola
Perfetto, grazie
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