Limite funzione a 2 variabili
buona sera a tutti
devo calcolare il seguente limite
$ lim_((x,y)->(0,0)$ $ (xy) / sqrt(x^2+y^2 ) $
la soluzione del libro parte con $ |x|= sqrt(x^2) <= sqrt(x^2+y^2) $
poi procede con $ (|x|) / (sqrt(x^2+y^2)) <= 1 $
ed infine $|f(x)| = (|x||y|) / (sqrt(x^2+y^2)) <= |y| $
poi per il Teorema del doppio confronto si conclude che il limite è 0
perchè parto da $|x|$?
è il primo esercizio che faccio e sono già in panico
chi mi aiuta a ragionare..
grazie
devo calcolare il seguente limite
$ lim_((x,y)->(0,0)$ $ (xy) / sqrt(x^2+y^2 ) $
la soluzione del libro parte con $ |x|= sqrt(x^2) <= sqrt(x^2+y^2) $
poi procede con $ (|x|) / (sqrt(x^2+y^2)) <= 1 $
ed infine $|f(x)| = (|x||y|) / (sqrt(x^2+y^2)) <= |y| $
poi per il Teorema del doppio confronto si conclude che il limite è 0
perchè parto da $|x|$?
è il primo esercizio che faccio e sono già in panico
chi mi aiuta a ragionare..
grazie
Risposte
Ciao
il punti di partenza non é direttamente legato al testo dell'esercizio, é una considerazione che si applica nei passaggi successivi.
Vediamoli uno per uno
$|x| = sqrt(x^{2})$, fino qui ok? é la definizione di valore assoluto
quindi $|x|
$sqrt(x^{2}) < sqrt(x^{2}+y^{2})$ si deduce dal fatto che $sqrt(x^{2})$ é un termine positivo (per forza é un valore assoluto)
e $sqrt(x^{2}+y^{2})$ é lo stesso termine a cui sommiamo il termine $y^{2}$ sotto la radice
ora... se $sqrt(x^{2}) < sqrt(x^{2}+y^{2})$ allora $\frac{sqrt(x^{2})}{sqrt(x^{2}+y^{2})}<1$
per forza, perché se divido un numero per un numero piú grande, il risultato é minore di 1.
detto questo, se si moltiplica da entrambe le parti per $|y|$ ovvero $sqrt(y^{2})$ si ottiene
$\frac{sqrt(x^{2}) sqrt(y^{2})}{sqrt(x^{2}+y^{2}}}
moltiplicando da entrambe le parti per $sqrt(y^{2})$ sono sicuro di non dover invertire il segno della disequazione perché $sqrt(y^{2})$ é sempre positivo
ricorda sempre che $sqrt(x^{2})=|x|$ e $sqrt(y^{2})=|y|$
ecco come arriva a quel punto.
Spero di essere stato di aiuto.
il punti di partenza non é direttamente legato al testo dell'esercizio, é una considerazione che si applica nei passaggi successivi.
Vediamoli uno per uno
$|x| = sqrt(x^{2})$, fino qui ok? é la definizione di valore assoluto
quindi $|x|
$sqrt(x^{2}) < sqrt(x^{2}+y^{2})$ si deduce dal fatto che $sqrt(x^{2})$ é un termine positivo (per forza é un valore assoluto)
e $sqrt(x^{2}+y^{2})$ é lo stesso termine a cui sommiamo il termine $y^{2}$ sotto la radice
ora... se $sqrt(x^{2}) < sqrt(x^{2}+y^{2})$ allora $\frac{sqrt(x^{2})}{sqrt(x^{2}+y^{2})}<1$
per forza, perché se divido un numero per un numero piú grande, il risultato é minore di 1.
detto questo, se si moltiplica da entrambe le parti per $|y|$ ovvero $sqrt(y^{2})$ si ottiene
$\frac{sqrt(x^{2}) sqrt(y^{2})}{sqrt(x^{2}+y^{2}}}
moltiplicando da entrambe le parti per $sqrt(y^{2})$ sono sicuro di non dover invertire il segno della disequazione perché $sqrt(y^{2})$ é sempre positivo
ricorda sempre che $sqrt(x^{2})=|x|$ e $sqrt(y^{2})=|y|$
ecco come arriva a quel punto.
Spero di essere stato di aiuto.
mi sei stato molto d'aiuto.
grazie
correggimi se sbaglio:
con x e y che tendono a 0 andando a sostituire nella funzione data ottengo una forma indeterminata $ 0/0 $.
quindi la modifico in manierea da poter utilizzare il Teorema del confronto.
è cosi?
grazie
Gianluca
grazie
correggimi se sbaglio:
con x e y che tendono a 0 andando a sostituire nella funzione data ottengo una forma indeterminata $ 0/0 $.
quindi la modifico in manierea da poter utilizzare il Teorema del confronto.
è cosi?
grazie
Gianluca
Uhm su questa parte ho qualche dubbio anche io
ho una confusione 
prendendo per esempio
$ lim (x,y) -> (0,0) $ della funzione $ f(x,y)= (xy)/(x^2+y^2) $
sul libro trovo che il calcolo del limite lungo gl'assi coordinati mi da 0 sia per $ f(x,0) $ che per $ f(0,y) $
non dovrebbe essere $ 0/0 $ forma indeterminata ?
prendendo per esempio
$ lim (x,y) -> (0,0) $ della funzione $ f(x,y)= (xy)/(x^2+y^2) $
sul libro trovo che il calcolo del limite lungo gl'assi coordinati mi da 0 sia per $ f(x,0) $ che per $ f(0,y) $
non dovrebbe essere $ 0/0 $ forma indeterminata ?
Per il punto precedente: il libro ha cercato di procurarsi una disuguaglianza in modo tale da stimare quella funzione complicata di due variabili $x, y$ con una roba più facile di una variabile sola (in questo caso $y$) - il meccanismo è esattamente quello che ci spiega Summerwind. Questo perché l'autore ha fiutato che la funzione fosse infinitesima e ha scelto questa strada per dimostrarlo. Facendo esercizi svilupperai questo fiuto pure tu e diventerà facile. Non andare in panico perché è perfettamente normale, a questo punto, non capirci nulla.
dissonance ti ringrazio per la carica!
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