Limite funzione a 2 variabili

[Gian741]

buongiorno a tutti

Ho appena cominciato a svolgere qualche esercizio e sono già messo male

$ f(x,y) = (x^4 + y^4) / (x^2 + y^2) $

il libro su cui stò studiando procede dicendo che

$ lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,y) = 0 $

ed aggiunge :

infatti $x^4 + y^4 <= x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 $

non mi è chiaro dove salta fuori quel "infatti"?
ho bisogno di uno spunto per andare avanti...

grazie
Gianluca

[Zero87]

"Gian74":il libro su cui stò studiando procede dicendo che

$ lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,y) = 0 $

ed aggiunge :

infatti $x^4 + y^4 <= x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 $

non mi è chiaro dove salta fuori quel "infatti"?

Gli serve per "argomentare" o "dire il perché" arriva ad una conclusione del genere.

La conclusione del discorso è che il libro si riporta a $(x^2+y^2)^2$ per risolvere quel limite senza passare per le direzioni ($y=mx$) o altri metodi da usare nelle funzioni in più variabili.

Dicendo così
$x^4 + y^4 <= x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 $

Sottointendi questo:
$f(x,y) = \frac{x^4+y^4}{x^2+y^2} \le \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^2}=g(x,y)$ inoltre $f(x,y)\ge 0$ perché somme e rapporti di termini sempre positivi.

Passando al limite hai (confronto)

$lim_{(x,y)\to (0,0)} 0 \le lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) \le lim_{(x,y)\to (0,0)} g(x,y)$
cioè $0\le lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) \le lim_{(x,y)\to (0,0)} g(x,y) = lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^2}= lim_{(x,y)\to (0,0)} x^2+y^2 =0$.

Quindi, poiché $0 \le lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y) \le 0$ allora conclude quello che conclude.

[Gian741]

grazie Zero87

quindi lo scopo di $x^4 + y^4 <= (x^2 + y^2)^2$ è quello di poter ricavare il limite calcolando quello della funzione $x^2 + y^2$ utilizzando il teorema del confronto?

hai qualche libro da consigliarmi per andare nel dettaglio dello studio dei limiti? Magari uno che spieghi a me "poco dotato" il procedimento senza nasconderlo dietro ad un.. "infatti"

grazie
Gianluca