Limite funzione
Ho una funzione:
\(f(x)=\frac{\left(x \sqrt{x+1}\right)}{(x+1) ( \sqrt{x+2}- \sqrt {x+1}) 2}\)
Devo capire quando è che la funzione ha come valore \(\infty\), sicuramente per \(x=-1\) la funzione "esplode".
Vorrei sapere però come faccio a dimostrare che \(\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)= \infty\,\)
\(f(x)=\frac{\left(x \sqrt{x+1}\right)}{(x+1) ( \sqrt{x+2}- \sqrt {x+1}) 2}\)
Devo capire quando è che la funzione ha come valore \(\infty\), sicuramente per \(x=-1\) la funzione "esplode".
Vorrei sapere però come faccio a dimostrare che \(\lim_{x\rightarrow \infty} f(x)= \infty\,\)
Risposte
Consiglio: moltiplica e dividi per
$sqrt(x+2)+sqrt(x+1)$
$sqrt(x+2)+sqrt(x+1)$
Mi viene fuori:
\(f(x)=\frac{x+1+ \sqrt{x+1} \sqrt{x+2}}{2x + 2}\)
Volevo sapere se essendo che per \(\lim{x\rightarrow \infty} \sqrt{x+} \sqrt{x+2}\approx x+1\) , posso "arrotondarlo" direttamente.
\(f(x)=\frac{x+1+ \sqrt{x+1} \sqrt{x+2}}{2x + 2}\)
Volevo sapere se essendo che per \(\lim{x\rightarrow \infty} \sqrt{x+} \sqrt{x+2}\approx x+1\) , posso "arrotondarlo" direttamente.
Con quello che ti viene fuori non dovresti avere problemi. Se vuoi fare le cose per bene, fai il prodotto $(x + 1) ( x + 2)$ sotto radice e raccogli - nel radicando - il termine di grado maggiore.
Ho pensato di elevare la funzione al quadrato per poi calcolarne la radice:
\( f(x)=\sqrt{\frac{x^2 + 2x + 1 + x^2 +3x +2}{4x^2 +8x +4}}\)
\( f(x)=\sqrt{\frac{2x^2 + 5x +3}{4x^2 +8x +4}}\)
E se ignoro i termini inferiori a \(x^2\) ottengo \(f(x)=\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\)
Spero sia giusto.
\( f(x)=\sqrt{\frac{x^2 + 2x + 1 + x^2 +3x +2}{4x^2 +8x +4}}\)
\( f(x)=\sqrt{\frac{2x^2 + 5x +3}{4x^2 +8x +4}}\)
E se ignoro i termini inferiori a \(x^2\) ottengo \(f(x)=\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\)
Spero sia giusto.
$ f(x)* (sqrt(x+2)+sqrt(x+1))/(sqrt(x+2)+sqrt(x+1))$ $=$ $x *sqrt(x+2)/(2\sqrt(x+1))$ $+$ $x/2$
Se io ho la funzione:
\(f(x)=\frac{x + 1 + \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+2}}{2 \cdot (x+1)} = \)
\(= \frac{x+1}{2 \cdot (x+1)} + \frac{\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+2}}{2 \cdot (x+1)} = \)
\(= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+2}}{2 \cdot (x+1)} = \)
\(= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{x+2}}{2 \cdot \sqrt{x+1}} \approx \frac{1}{2} \) perchè \(\frac{\infty}{\infty}\) fa zero.
\(f(x)=\frac{x + 1 + \sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+2}}{2 \cdot (x+1)} = \)
\(= \frac{x+1}{2 \cdot (x+1)} + \frac{\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+2}}{2 \cdot (x+1)} = \)
\(= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+2}}{2 \cdot (x+1)} = \)
\(= \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{x+2}}{2 \cdot \sqrt{x+1}} \approx \frac{1}{2} \) perchè \(\frac{\infty}{\infty}\) fa zero.
"ramy1989":
perchè \(\frac{\infty}{\infty}\) fa zero.
Assolutamente no... E' una (semplice) forma indeterminata.
E' vero non fa zero, però io faccio un ragionamento del genere:
\(\sqrt{x+2} \approx \sqrt{x+1} \) Se \(x \rightarrow \infty\)
Allora:
\(\frac{\sqrt{x+2}}{2 \cdot \sqrt{x+1}} \approx \frac{1}{2}\)
Quindi il risultato totale è:
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)
Giusto ?
\(\sqrt{x+2} \approx \sqrt{x+1} \) Se \(x \rightarrow \infty\)
Allora:
\(\frac{\sqrt{x+2}}{2 \cdot \sqrt{x+1}} \approx \frac{1}{2}\)
Quindi il risultato totale è:
\(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1\)
Giusto ?
Questo va bene...
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