Limite funzione

[Fenix1610]

Buongiorno, avrei bisogno di un aiuto per risolvere il seguente limite:

$ lim ln (1+(1/(x^2)))/(3/x^2) $
$ x→+∞ $

So che il risultato è $ 1/3 $ vorrei capire come ci si arriva.
Vi ringrazio.

[marco.ceccarelli]

Sappi che, se $f(x) rarr 0$, allora per il metodo asintotico ad esempio $ln(1+f(x))~~f(x)$.

[anto_zoolander]

devi ricondurti al limite

$lim_(x->+infty)(1+1/x)^x=e$


$lim_(x->+infty)ln(1+1/x^2)/(3/x^2)$ ribalto la frazione a denominatore e metto fuori $1/3$


$lim_(x->+infty)1/3*x^2ln(1+1/x^2)$ per proprietà dei logaritmi sposto ad esponente dell'argomento $x^2$


$lim_(x->+infty)1/3*ln(1+1/x^2)^(x^2)$ ora faccio un piccolo cambio di variabile


$x^2=z, zgeq0$ inoltre se $x^2->+infty$ allora $z->+infty$


$lim_(z->+infty)1/3*ln(1+1/z)^z$


$lim_(z->+infty)1/3*ln(e)=1/3$

[taurus85]

applica il limite notevole ln(1+ 1/x^2) $=$ 1/x^2, 1/x^2* x^2/3=1/3......