Limite (forse ) con Taylor

[cechuz]

nello studio della convergenza di un integrale improprio mi sono ritrovata di fronte a questo limite $ \lim_{x\rightarrow 2^+} (x-2)^{1/3} $, lo posso considerare asintoticamente equivalente a $ (x)^{1/3} $ per $ x\rightarrow 2^+ $, oppure si può sviluppare in qualche maniera con Taylor ?



riporto l'integrale per completezza:
$ \int_{2}^{+\infty} \frac{(x-2)^{1/3}sin(1/x^{2\alpha})}{arctan(x-2)} \, dx $

[mdonatie]

Se fosse asintotico allora potresti dire che:
\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow2^+}\left(x-2\right)^{1/3}\approx\lim_{x\rightarrow2^+}\left(x\right)^{1/3}\end{equation*}
e quindi svolgendo il limite:
\begin{equation*}0\approx 2^{1/3}\end{equation*}

Forse risulta essere più interessante lavorare sugli operatori di seno e arcotangente

[cechuz]

la mia domanda è: con i limiti di funzioni [highlight]infinitesime[/highlight] sotto radice del tipo $ (x \pm a)^{1/b} $ posso usare taylor ? Oppure si usa taylor solo e soltanto riconducendosi alla forma $ (x+1)^{1/b} $ per $ x \rightarrow 0 $ ?

[Obidream]

Non capisco il problema sinceramente:

Per $x->2^+$ si ha:

$(root(3)(x-2)*sin(1/(x^(2*\alpha))))/arctan(x-2) ~~ (root(3)(x-2)*sin(1/(2^(2*\alpha))))/(x-2)$, ovvero:

$sin(1/(2^(2*\alpha)))/(x-2)^(2/3)$, nota che a prescindere dal valore di $\alpha$ al numeratore hai una costante

[pilloeffe]

Ciao cechuz,

"cechuz":[...]$(x-2)^{1/3} $ lo posso considerare asintoticamente equivalente a $(x)^{1/3} $ per $ x \to 2^+ $, [...]

Io credo che qui tu ti sia sbagliata e probabilmente intendevi questo: $(x-2)^{1/3} $ lo posso considerare asintoticamente equivalente a $x^{1/3} $ per $x \to +\infty $
D'altronde Obidream ti ha già mostrato che per $x \to 2^+ $ l'integrale converge per qualsiasi valore di $\alpha $, quindi è chiaro che per sapere per quali valori di $\alpha $ l'integrale improprio proposto converge sei interessata a vedere che cosa accade per $x \to +\infty $