Limite forma indeterminata zero su zero

[irvinewelsh]

Mi sono bloccato sul seguente limite :

$\lim_{x \to \infty} ln(x^2/(x^2+1))/(1-e^(-1/x))$

A numeratore ho $x^2/x^2$ che avendo lo stesso grado è 1 per gli infiniti; quindi $ln(1)$ cioè zero.
A denominatore $-1/x$ tende a zero per infinito, quindi $1-e^0$ , nuovamente zero...

Qualcuno può darmi qualche dritta per la sua risoluzione per favore?

Grazie

[Zkeggia]

Prova con de l'hopital.

[*v.tondi]

Si conviene utilizzare laregola di De L'Hopital.

[irvinewelsh]

la derivata del numeratore è $2/(x*(x^2+1))$ mentre quella del denominatore $-e^(-1/x)/x^2$

ma $\lim_{x \to \infty}(2/(x*(x^2+1)))/(-e^(-1/x)/x^2)$ è nuovamente zero su zero ...

C'è qualcosa che non mi torna...

[*v.tondi]

Fai attenzione, cerca di manipolare (rendere come un prodotto ciò che ti è rimasto), semplificare la $x$ e poi fare un raccoglimento di $x^2$ al denominatore e poi voilà esce il limite. Se hai dubbi chiedi pure.

[mgiaff]

Oppure puoi sfruttare il fatto che $log(1 + \epsilon) approx \epsilon$ e che $e^\epsilon - 1 approx \epsilon => 1 - e^epsilon approx -\epsilon$

[irvinewelsh]

Portandolo come prodotto e semplificando mi ritrovo con questo :

$\lim_{x \to \infty}(2/(x^2+1))*((x)/(-e^(-1/x))) $

posso ricondurlo a $\lim_{x \to \infty}((2x)/-x^2)=0 $ per gli infiniti ?

(a denominatore avrei $x^2+1 * (-e^(-1/x))$ con quest'ultimo termine che tende a $-1$

[*v.tondi]

Giusto, ti è chiaro?

[mgiaff]

Se le derivate sono giuste, puoi ovviamente farlo. A me viene lo stesso risultato con un procedimento più breve:
$ lim_(x->+infty) ln(x^2/(x^2+1))/(1-e^(- 1/x)) = lim_(x->+infty) (-ln((x^2+1)/(x^2)))/-(e^(- 1/x)-1) = lim_(x->+infty) ln(1 + 1/x^2)/(e^(- 1/x) - 1)$
Adesso sfrutti i seguenti asintotici notevoli: $log(1+\epsilon) approx \epsilon$ e $e^\epsilon -1 approx \epsilon$
Quindi:
$lim_(x->+infty) ln(1 + 1/x^2)/(e^(- 1/x) - 1) = lim_(x->+infty) (1/x^2)/(- 1/x) = lim_(x->+infty) - x/x^2 = lim_(x->+infty) - 1/x = 0^- $

[irvinewelsh]

"v.tondi":Giusto, ti è chiaro?

Sì grazie