Limite forma indeterminata
Ciao ragazzi, sono nuovo su questo sito, e senza pudore vi chiedo gia' un aiuto.
C'e' un limite indeterminato che mi sta facendo impazzire, provo ad apllicare l'Hopital piu' volte ma mi esce un casino, potete aiutarmi?
Se c'e' qualcuno di buona volonta' il limite e' con x tendente a 0
[log(x - arctgx)] / [log(x - senx)].
Forse c'e' qualche porpieta'che non ricordo, purtroppo in matematica sono un disastro. Vi ringrazio anticipatamente.
C'e' un limite indeterminato che mi sta facendo impazzire, provo ad apllicare l'Hopital piu' volte ma mi esce un casino, potete aiutarmi?
Se c'e' qualcuno di buona volonta' il limite e' con x tendente a 0
[log(x - arctgx)] / [log(x - senx)].
Forse c'e' qualche porpieta'che non ricordo, purtroppo in matematica sono un disastro. Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
"Checcuzzo":
Ciao ragazzi, sono nuovo su questo sito, e senza pudore vi chiedo gia' un aiuto.
C'e' un limite indeterminato che mi sta facendo impazzire, provo ad apllicare l'Hopital piu' volte ma mi esce un casino, potete aiutarmi?
Se c'e' qualcuno di buona volonta' il limite e' con x tendente a 0
[log(x - arctgx)] / [log(x - senx)].
Forse c'e' qualche porpieta'che non ricordo, purtroppo in matematica sono un disastro. Vi ringrazio anticipatamente.
Prova con Taylor.
Scusami taylor non l'ho mai fato abbinato ai limiti, come e' che funziona? Scusami se te lo chiedo, ma soo un po' nei casini.
Raga scusate se riuppo la domanda, ma e' veramente importante, c'e' qualcuno che puo' darmi una mano con questo limite?
Eh ma non è che sia proprio facilissimo... Se poi non vuoi usare la regola di Taylor ho paura che non ci siano molte speranze.
Si tratta comunque di stabilire l'ordine di infinitesimo di $x-arctan(x)$, $x-sin(x)$, che a occhio è lo stesso per tutte e due. Ti può servire questo teorema:
Se per $x\to x_0$ $f(x)~=g(x)$, allora anche $log\ f(x)~=log\ g(x)$. ($f~=g$ significa $(f(x))/(g(x))\to1$)
Questo ti permette di ridurti a studiare $(x-arctan(x))/(x-sin(x))$.
Si tratta comunque di stabilire l'ordine di infinitesimo di $x-arctan(x)$, $x-sin(x)$, che a occhio è lo stesso per tutte e due. Ti può servire questo teorema:
Se per $x\to x_0$ $f(x)~=g(x)$, allora anche $log\ f(x)~=log\ g(x)$. ($f~=g$ significa $(f(x))/(g(x))\to1$)
Questo ti permette di ridurti a studiare $(x-arctan(x))/(x-sin(x))$.
Ciao dissonance grazie per aver risposto, perfavore potresti farmi capire un po' meglio come hai fatto a ridurre il tutto a [x-arctan(x)]/[x-sin(x)], e come si chiama il teorema che hai esposto che vorrei cercarlo. Grazie infinitamente, e ne approffitto per chiedere scusa a te e agli altri utenti se sono cosi' petulante e se sto approfittando del forum.
"Checcuzzo":
Ciao ragazzi, sono nuovo su questo sito, e senza pudore vi chiedo gia' un aiuto.
C'e' un limite indeterminato che mi sta facendo impazzire, provo ad apllicare l'Hopital piu' volte ma mi esce un casino, potete aiutarmi?
Se c'e' qualcuno di buona volonta' il limite e' con x tendente a 0
[log(x - arctgx)] / [log(x - senx)].
Forse c'e' qualche porpieta'che non ricordo, purtroppo in matematica sono un disastro. Vi ringrazio anticipatamente.
Visto che, "vicino" a $x=0$ hai:
$arctan(x) = x - x^3/3 + ...$
$sin (x) = x - x^3/6 + ...$
puoi sfruttare queste formule e sostituire nella tua espressione.
Capito?
Ciao franced, scusa la mia ottusaggine, ma non ho capito. in che senso devo sostiure quelle formule nell'epressione, e perche' proprio quelle? scusami non riesco proprio a capire. Grazie per 'aiuto che stai cercando di darmi.
il limite dovrebbe essere infinito..però potrei anche sbagliarmi.Applicando de L'hopital 4 volte al numeratore si ha infatti cosx e al denominatore un funzione inifinitesima per x che tende a 0.
Io credo che quel limite sia 1...
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("(log(x-arctan(x)))/(log(x-sin(x)))");[/asvg]
...e questo grafico sembra confermarlo.
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("(log(x-arctan(x)))/(log(x-sin(x)))");[/asvg]
...e questo grafico sembra confermarlo.
"Checcuzzo":
Ciao franced, scusa la mia ottusaggine, ma non ho capito. in che senso devo sostiure quelle formule nell'epressione, e perche' proprio quelle? scusami non riesco proprio a capire. Grazie per 'aiuto che stai cercando di darmi.
Allora tu hai
$(log(x - arctgx)) / (log(x - senx))$
ora sostituisci le due espressioni che ti ho scritto io:
$(log(x - (x - x^3/3))) / (log(x - (x - x^3/6)))$
semplifichi ed ottieni
$(log(x^3/3)) / (log(x^3/6))$
ora puoi dire qualcosa di più
"dissonance":
Io credo che quel limite sia 1...
[asvg]axes();
stroke="red";
plot("(log(x-arctan(x)))/(log(x-sin(x)))");[/asvg]
...e questo grafico sembra confermarlo.
Devo riguardarlo forse il denominatore invece di avvicinarsi a zero va ad 1...avevo fatto intuitivamente..ora controllo
Quello che volevo dire prima è di usare la relazione $~=_{x_0}$ "equivalenza asintotica".
Questa funziona in questa maniera: $f~=_{x_0}g$ $\iff$ $lim_{x\tox_0}{f(x)}/{g(x)}=1$. [size=75]Se $g$ è un polinomio di grado $k$, che per $x\to x_0$ tende a zero, allora si dice che $f$ è un infinitesimo di ordine $k$. (In modo molto simile si parla di ordine di infinito).
[/size]
Succede che, data una funzione di forma $alpha(x)*beta(x)$, oppure $(alpha(x))/(beta(x))$, se $alpha~=_{x_0}A$, $beta~=_{x_0}B$, allora il $lim_{x\tox_0}alpha(x)*beta(x)=lim_{x\to x_0} A(x)*B(x)$ e analogamente per il rapporto.
Inoltre abbiamo il teorema di prima (il logaritmo conserva le equivalenze asintotiche).
Perciò:
se $alpha(x)=x-arctan\ x$, $beta(x)=x-sin\ x$, e riusciamo a dimostrare che $(alpha(x))/(beta(x))\to 1$ ovvero che $alpha~=_0beta$, allora
$lim_{x\to 0}(log(alpha(x)))/(log(beta(x)))=lim_{x\to 0}(log(alpha(x)))/(log(alpha(x)))=1$.
Questo giusto per chiarire cosa intendevo.
Questa funziona in questa maniera: $f~=_{x_0}g$ $\iff$ $lim_{x\tox_0}{f(x)}/{g(x)}=1$. [size=75]Se $g$ è un polinomio di grado $k$, che per $x\to x_0$ tende a zero, allora si dice che $f$ è un infinitesimo di ordine $k$. (In modo molto simile si parla di ordine di infinito).
[/size]
Succede che, data una funzione di forma $alpha(x)*beta(x)$, oppure $(alpha(x))/(beta(x))$, se $alpha~=_{x_0}A$, $beta~=_{x_0}B$, allora il $lim_{x\tox_0}alpha(x)*beta(x)=lim_{x\to x_0} A(x)*B(x)$ e analogamente per il rapporto.
Inoltre abbiamo il teorema di prima (il logaritmo conserva le equivalenze asintotiche).
Perciò:
se $alpha(x)=x-arctan\ x$, $beta(x)=x-sin\ x$, e riusciamo a dimostrare che $(alpha(x))/(beta(x))\to 1$ ovvero che $alpha~=_0beta$, allora
$lim_{x\to 0}(log(alpha(x)))/(log(beta(x)))=lim_{x\to 0}(log(alpha(x)))/(log(alpha(x)))=1$.
Questo giusto per chiarire cosa intendevo.
"Checcuzzo":
Ciao franced, scusa la mia ottusaggine, ma non ho capito. in che senso devo sostiure quelle formule nell'epressione, e perche' proprio quelle? scusami non riesco proprio a capire.
Proprio quelle perché fanno parte degli sviluppi in serie di Taylor.
Detto alla buona: quei polinomi di terzo grado approssimano bene la funzione nelle
vicinanze di $x=0$.
"franced":
...
semplifichi ed ottieni
$(log(x^3/3)) / (log(x^3/6))$
ora puoi dire qualcosa di più
Possiamo sfruttare le proprietà del logaritmo:
$(log x^3 - log 3)/(log x^3 - log 6)$
a questo punto non è difficile calcolare il limite
(magari con la sostituzione $y=log x^3$; se $x \to 0^+$ allora $y \to -\infty$)
Aggiungo un'ultima cosa... Se vuoi risolvere l'esercizio usando il metodo che ho suggerito io, il limite $(x-arctan\ x)/(x-sin\ x)$ puoi riuscire a calcolarlo anche con la regola di l'Hospital. E così ti puoi scansare la regola di Taylor, per stavolta 
. Però ti consiglio di andartela a studiare perché, abbinata all'equivalenza asintotica, ti aiuta moltissimo nel calcolo dei limiti.
ciao!
. Però ti consiglio di andartela a studiare perché, abbinata all'equivalenza asintotica, ti aiuta moltissimo nel calcolo dei limiti. ciao!
Grazie mille franced per quanto ti stai interessando alla cosa. Mi spieghi come fai a sostituire arctx con (x-x^3/3 ) e senx con (x-(x-x^3/6), applichi Taylor? Se si come fai, al mio corso taylor e' stato fatto molto superficialmente e da solo lo trovo un po' ostico.
"Checcuzzo":
Grazie mille franced per quanto ti stai interessando alla cosa. Mi spieghi come fai a sostituire arctx con (x-x^3/3 ) e senx con (x-(x-x^3/6), applichi Taylor? Se si come fai, al mio corso taylor e' stato fatto molto superficialmente e da solo lo trovo un po' ostico.
Guarda qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor
Ho ricontrollato il denominatore della derivata quarta tende ad 1 esattamente come il numeratore..
"franced":
[quote="Checcuzzo"]Grazie mille franced per quanto ti stai interessando alla cosa. Mi spieghi come fai a sostituire arctx con (x-x^3/3 ) e senx con (x-(x-x^3/6), applichi Taylor? Se si come fai, al mio corso taylor e' stato fatto molto superficialmente e da solo lo trovo un po' ostico.
Attento, a sen x va sostituito
$sen (x) = x - x^3/6 + ...$
Guarda qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor[/quote]
Grazie a tutti per le risposte che mi avete dato, sono riuscito ad applicare la serie di taylor a sen x e mi trovo in parte con il risultato fornito da Franced, ho solo un dubbio, perche' per senx mi devo fermare a [x-(x^3/6)] e non oltre??? stesso discorso vale per arctgx.
Per senx ho visto che dopo la derivata quarta i valori iniziavano a ripetersi, forse e' per questo?
Vi prego di scusarmi se sto continuando ad assillare con le mie domande.
Per senx ho visto che dopo la derivata quarta i valori iniziavano a ripetersi, forse e' per questo?
Vi prego di scusarmi se sto continuando ad assillare con le mie domande.
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