Limite forma indeterminata $-∞*0$

[lordb]

Ciao a tutti il limite è questo: $lim_(x->-∞) x*log((x+4)/(x+2))$.
Ho provato con il criterio del confronto asintotico ma mi viene la forma $-∞*0$.
Qualcuno mi può aiutare?
Grazie

[Camillo]

Riscrivilo come $ log((x+4)/(x+2))/(1/x) $ avrai così una forma indeterminata del tipo $[0/0] $ alla quale puoi applicare il teorema di De l'Hopital

[kamal1]

$lim_(x->-infty)xlog((x+4)/(x+2))$=$lim_(x->-infty)xlog(1+2/(x+2))$
poniamo $u=2/(x+2)$ qundo x tende a $-infty$ u tende a 0.
quindi $lim_(x->-infty)xlog(1+2/(x+2))$=$lim_(u->0)(2/u-2)log(1+u)$=$lim_(u->0)(2-2u)log(1+u)/u$
sappiamo che $lim_(u->0)log(1+u)/u$=1 quindi $lim_(u->0)(2-2u)log(1+u)/u$=2

[lordb]

Grazie a entrambi, ottimi consigli!

[dissonance]

Tanto per dirne un'altra, puoi anche usare le proprietà del logaritmo:

\[x\log\left(\frac{x+4}{x+2}\right)=\log\left(\frac{x+4}{x+2}\right)^x\]

e poi ottenere

\[\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x+4}{x+2}\right)^x=e^2\]

per mezzo del limite notevole dell'esponenziale. Prendendo il logaritmo si ritrova il risultato di kamal. Osserviamo che questo procedimento, in fondo, è lo stesso di quello di kamal.