Limite forma indet. infinito-infinito
Ciao a tutti.Sto provando a risolvere questo limite : $lim_(x->0^+)1/(e^x-1)-(1/x)$ che genera la forma indeterminata infinito-infinito.Per risolverla ho provveduto a fare il m.c.m. ,trasformandola in una forma indeterminata 0/0 .A questo ho applicato il limite notevole dell'esponenziale sia al numeratore che al denominatore ma purtroppo non ottengo il risultato corretto.Dove sbaglio? Ecco il procedimento che ho fatto:
$lim_(x->0^+) [x-(e^x-1)]/[(e^x-1)x]$ = $lim_(x->0^+) [x-((e^x-1)/x)*x]/ [x * ((e^x-1)/x)*x]$ = $lim_(x->0^+) (0/x^2)$ ...il risultato deve essere -1/2... Grazie anticipatamente.
$lim_(x->0^+) [x-(e^x-1)]/[(e^x-1)x]$ = $lim_(x->0^+) [x-((e^x-1)/x)*x]/ [x * ((e^x-1)/x)*x]$ = $lim_(x->0^+) (0/x^2)$ ...il risultato deve essere -1/2... Grazie anticipatamente.
Risposte
Ciao rocco95,
Qui:
Una volta scritto il limite nella forma
$ \lim_(x->0^+) [x-(e^x-1)]/[(e^x-1)x] = - \lim_(x->0^+) [e^x - 1 - x]/[(e^x-1)x] $
puoi applicare la regola di de l'Hôpital (che però so che al tuo docente non piace...
) oppure sviluppare in serie $ e^x $
"rocco95":
Dove sbaglio?
Qui:
"rocco95":
$ \lim_(x->0^+) [x-(e^x-1)]/[(e^x-1)x] = \lim_(x->0^+) [x-(e^x-1)/x \cdot x]/[x (e^x-1)/x \cdot x] $
Una volta scritto il limite nella forma
$ \lim_(x->0^+) [x-(e^x-1)]/[(e^x-1)x] = - \lim_(x->0^+) [e^x - 1 - x]/[(e^x-1)x] $
puoi applicare la regola di de l'Hôpital (che però so che al tuo docente non piace...
) oppure sviluppare in serie $ e^x $
Ah sì grazie mille ecco dove sbagliavo.. comunque si è vero il mio prof.odia de Hopital per cui applico lo sviluppo di Taylor di e^x...posso chiederti perché in questo caso non funzionano i limiti notevoli ? Non ho ben capito quando utilizzare i limiti notevoli e quando gli sviluppi in serie...di solito io procedo così: provo con i limiti notevoli e se si presenta ancora la forma indeterminata,solo a quel punto applico gli sviluppi di Taylor..in un certo senso vado a tentativi...però so che non è un buon approccio...
Brevemente: i limiti notevoli non sono altro che sviluppi in serie al primo ordine. Quando si verificano delle cancellazioni fra termini del primo ordine, come nel caso in esame al numeratore della frazione, i limiti notevoli non sono più sufficienti ed è necessario ricorrere agli sviluppi in serie arrestati all'ordine opportuno (in questo caso basta il secondo).
Perfetto grazie mille pilloeffe per la spiegazione...adesso mi è tutto molto più chiaro...
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