Limite facile

[Bertucciamaldestra]

Ciao a tutti!! Non ho idea di come fare con questo limite $lim_(xto+oo) root(4)(x^4+2x^3) -x$ tramite il raccoglimento ottengo $x-x$ quindi $0$ e invece dovrei ottenere $1/2$

[feddy]

Prova a moltiplicare e dividere per $root(4)(x^4+2x^3) +x$..

[Ziben]

Ciao,
allora fai attenzione che raccogliendo non ottieni 0:
$\lim_(x->+\infty)(root4(x^4+2x^3)-x) = \lim_(x->+\infty)(xroot4(1+2/x)-x)$ fin qui è ancora $\infty-\infty$, puoi raccogliere la $x$ ma:
$\lim_(x->+\infty)x(root4(1+2/x)-1)=0*\infty$ ancora indeterminata. Un modo di risolvere è ricordarsi che:

$a^n-b^n=(a-b)\Sigma_(k=0)^(n-1)a^(n-1-k)b^k$ per cui $a-b = (a^n-b^n)/(\Sigma_(k=0)^(n-1)a^(n-1-k)b^k)$

Ora nel tuo caso $a=root4(x^4+2x^3)$ e $b=x$ per cui hai che:

$root4(x^4+2x^3)-x=(x^4+2^3-x^4)/(root4((x^4+2x^3)^3)+xroot4((x^4+2x^3)^2)+x^2root4(x^4+2x^3)+x^3)$

ops...mi hai anticipato, scusa Feddy

[feddy]

E di che @Ziben? Nessun problema

[Magma1]

$ lim_(xto+oo) root(4)(x^4+2x^3) -x $

Considerando che

$(a^4-b^4)=(a^2+b^2)(a^2-b^2)=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)$

da cui

$(a-b)=(a^4-b^4)/((a^2+b^2)(a+b))=(a^4-b^4)/((a^3+b^3+a^2b+ab^2)$

Posto $a=root(4)(x^4+2x^3)$, $b=x$

$ lim_(xto+oo) (x^4+2x^3-x^4)/(root(4)((x^4+2x^3)^(3))+x^3+xsqrt(x^4+2x^3)+x^2root(4)(x^4+2x^3))$

Mettendo in evidenza $x^3$ a denominatore (non lo faccio perché è da prima che sto avendo noie nel sistemare le varie parentesi ) si ottiene:

$ lim_(xto+oo) (2x^3)/(4x^3)=1/2$

Sono stato anticipato anch'io

[Bertucciamaldestra]

Grazie mille a tutti e tre!!!