Limite estremo

[melpycar]

studiare al variare del parametro a>0 il seguente limite
$ lim_(x -> 0+) [\frac { e^(x^a) -1 + xlogx }{ \sin[x^(2a)] + 1 - \cos(x^2) } ]$

come si inizia con il parametro?

[pater46]

"melpycar":$ lim_(x -> 0+) [\frac { e^(x^a) -1 + xlogx }{ \sin(x^2a) } + 1 - \cos(x^2) ]$

Quanti limiti notevoli tutti insieme

Cosa intendi per "come si inizia con il parametro" ? Devi risolverlo normalmente, applica tutti i limiti notevoli che riconosci ( dovrebbero essere 4 in tutto ) e posta il risultato.

[melpycar]

"pater46":[quote="melpycar"]$ lim_(x -> 0+) [\frac { e^(x^a) -1 + xlogx }{ \sin(x^2a) } + 1 - \cos(x^2) ]$

Quanti limiti notevoli tutti insieme

Cosa intendi per "come si inizia con il parametro" ? Devi risolverlo normalmente, applica tutti i limiti notevoli che riconosci ( dovrebbero essere 4 in tutto ) e posta il risultato.[/quote]

no scusa ho sbagliato a scrivere la funzione è

$ lim_(x -> 0+) [\frac { e^(x^a) -1 + xlogx }{ \sin[x^(2a)] + 1 - \cos(x^2) } ]$

[pater46]

Quali limiti immediati riconosci? Ce ne sono tre molto ovvi, 2 trigonometrici ed uno che deriva dal limite di nepero.

[melpycar]

xlogx è 0..
e elevato a x alla a, è 1..

[pater46]

Non direi proprio... Non ne hai azzeccato 1! Riguardateli bene!

[melpycar]

scusa ma xlogx dovrebbe essere 0 http://dsa.uniparthenope.it/dsa/Portals ... im_not.pdf
e se a >0 ed e elevato alla x che a sua volta è elevata un numero positivo con x tendente a 0 dovrebbe essere e elevato alla 0 che da 1...
aspetto tue delucidazioni grazie

[pater46]

Ragione hai, avevo letto male. Ad ogni modo, ce ne sono diversi altri, te ne dico uno, ad esempio.

$ lim_{x->0} \frac { a^x -1 } { x } = ln a $

Altri due sono trigonometrici.

[melpycar]

nessuno mi puo aiutare??

[melpycar]

up

[robbstark1]

Per $a>0$ puoi scriverlo così:
$lim_{x->0^+} (x^a +o(x^a) +xlogx)/(x^(2a) +o(x^(2a)) +1/2 x^4 + o(x^4))$
Fin qui ci sai arrivare? Poi dovresti distinguere altri sottocasi.
Invece per $a=0$ e per $a<0$ il risultato dovrebbe essere più immediato. Prova.

[melpycar]

scusa se ti chiedo ma come fai ad arrivare a quello che hai scritto?

[melpycar]

upp

[gugo82]

"melpycar":scusa se ti chiedo ma come fai ad arrivare a quello che hai scritto?

Robbstark ha applicato i limiti notevoli e/o lo sviluppo in serie di Taylor delle funzioni elementari: in particolare:

[tex]$e^y=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} y^n$[/tex], quindi al primo ordine [tex]$e^y=1+y+\text{o}(y)$[/tex],

[tex]$\sin z=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1}$[/tex], quindi al primo ordine [tex]$\sin z=z+\text{o}(z)$[/tex],

[tex]$\cos x=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$[/tex], quindi al secondo ordine [tex]$\cos x=1-\frac{1}{2} x^2+\text{o}(x^2)$[/tex];

ovviamente nei primi due ha usato poi le sostituzioni [tex]$y=x^a$[/tex] e [tex]$z=x^{2a}$[/tex]. Sono trucchi abbastanza standard che credo conoscerai anche tu.
Ora prova a terminare il conto.