Limite esame. L'ho azzeccato?
Ciao a tutti!
$lim x$->0 $((3^ (tanx) -2^(4tanx) )/ (x^3 +3x ))$
Era risolvibile anche con l'Hospital, io mi trovo come su wolfram:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim&a=*C.lim-_*Calculator.dflt-&f2=%28%283^+%28tanx%29+-2^%284tanx%29+%29%2F+%28x^3+%2B3x+%29%29&f=Limit.limitfunction_%28%283^+%28tanx%29+-2^%284tanx%29+%29%2F+%28x^3+%2B3x+%29%29&f3=0&f=Limit.limit_0&a=*FVarOpt.1-_**-.***Limit.limitvariable--.**Limit.direction---.*--
Cioè:
$(1/3)(log(3/16))$
E' giusto? Grazie dell'attenzione, da questo limite deriva l'esito del mio esame!
$lim x$->0 $((3^ (tanx) -2^(4tanx) )/ (x^3 +3x ))$
Era risolvibile anche con l'Hospital, io mi trovo come su wolfram:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim&a=*C.lim-_*Calculator.dflt-&f2=%28%283^+%28tanx%29+-2^%284tanx%29+%29%2F+%28x^3+%2B3x+%29%29&f=Limit.limitfunction_%28%283^+%28tanx%29+-2^%284tanx%29+%29%2F+%28x^3+%2B3x+%29%29&f3=0&f=Limit.limit_0&a=*FVarOpt.1-_**-.***Limit.limitvariable--.**Limit.direction---.*--
Cioè:
$(1/3)(log(3/16))$
E' giusto? Grazie dell'attenzione, da questo limite deriva l'esito del mio esame!
Risposte
Si mi trovo applicando una sola volta Hopital
Ma non serve il teorema del marchese... Basta usare una fetecchiosa approssimazione di Taylor al primo ordine.
Invero, tenendo presente che [tex]$e^y=1+y+\text{o}(y)$[/tex] per [tex]$y\approx 0$[/tex] e che [tex]$\tan x\approx 0$[/tex] quando [tex]$x\approx 0$[/tex], si ha:
[tex]$3^{\tan x} -2^{4\tan x} = e^{\ln 3\ \tan x}-e^{4\ln 2\ \tan x}=(\ln 3-4\ln 2) \tan x+\text{o}(\tan x)$[/tex];
inoltre, dato che [tex]$\tan x\approx x$[/tex] per [tex]$x\approx 0$[/tex], la precedente importa:
[tex]$3^{\tan x} -2^{4\tan x}=(\ln 3-4\ln 2) x+\text{o}(x)$[/tex];
conseguentemente:
[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{3^{\tan x} -2^{4\tan x}}{x^3+3x} =\lim_{x\to 0} \frac{(\ln 3-4\ln 2) x+\text{o}(x)}{x(x^2+3)} = \frac{\ln 3-4\ln 2}{3}$[/tex]
che è esattamente il risultato riportato.
Invero, tenendo presente che [tex]$e^y=1+y+\text{o}(y)$[/tex] per [tex]$y\approx 0$[/tex] e che [tex]$\tan x\approx 0$[/tex] quando [tex]$x\approx 0$[/tex], si ha:
[tex]$3^{\tan x} -2^{4\tan x} = e^{\ln 3\ \tan x}-e^{4\ln 2\ \tan x}=(\ln 3-4\ln 2) \tan x+\text{o}(\tan x)$[/tex];
inoltre, dato che [tex]$\tan x\approx x$[/tex] per [tex]$x\approx 0$[/tex], la precedente importa:
[tex]$3^{\tan x} -2^{4\tan x}=(\ln 3-4\ln 2) x+\text{o}(x)$[/tex];
conseguentemente:
[tex]$\lim_{x\to 0} \frac{3^{\tan x} -2^{4\tan x}}{x^3+3x} =\lim_{x\to 0} \frac{(\ln 3-4\ln 2) x+\text{o}(x)}{x(x^2+3)} = \frac{\ln 3-4\ln 2}{3}$[/tex]
che è esattamente il risultato riportato.
Si sa ormai che gli studenti amano Hopital, o per meglio dire la regola di Bernoulli (se non sbaglio fu lui che la ideò), piuttosto che gli sviluppi in serie di Taylor, i quali se non spiegati bene risultano molto complessi da utilizzare.
Disabituiamoli quando non è necessario!
Grazie mille per le risposte.
Beh, sì, l'hospital (hopital) è più '' user friendly'' e inoltre ,almeno per quanto mi riguarda, ci ho familiarizzato già dalle superiori a differenza degli altri metodi!
Beh, sì, l'hospital (hopital) è più '' user friendly'' e inoltre ,almeno per quanto mi riguarda, ci ho familiarizzato già dalle superiori a differenza degli altri metodi!
Sarà pure "user friendly", ma non sempre aiuta; conoscere e saper sfruttare Taylor è molto, molto meglio, fidati. 
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