Limite ed o piccoli
Non riesco a calcolare il seguente limite: $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log(3-\sqrt{4-x})}{x}$.
Ho posto che $\sqrt{4-x}=2-\frac{x}{4}+o(x)$ e quindi viene $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log(1+\frac{x}{4}+o(x))}{x}$.
So poi che $\log(1+t)=t+o(t)$ dove $t=\frac{x}{4}+o(x)$ e quindi il limite diventa $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x}{4}+o(x)+o(\frac{x}{4}+o(x))}{x}$.
Ora però non so come andare avanti, in quanto non so come semplificare l'espressione $o(\frac{x}{4}+o(x))$.
La soluzione riportata sul libro è $\frac{1}{4}$.
Grazie per qualsiasi aiuto.
Ho posto che $\sqrt{4-x}=2-\frac{x}{4}+o(x)$ e quindi viene $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log(1+\frac{x}{4}+o(x))}{x}$.
So poi che $\log(1+t)=t+o(t)$ dove $t=\frac{x}{4}+o(x)$ e quindi il limite diventa $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x}{4}+o(x)+o(\frac{x}{4}+o(x))}{x}$.
Ora però non so come andare avanti, in quanto non so come semplificare l'espressione $o(\frac{x}{4}+o(x))$.
La soluzione riportata sul libro è $\frac{1}{4}$.
Grazie per qualsiasi aiuto.
Risposte
Ma hai studiato De L'Hospital? Se lo utilizzi, risolvi l'esercizio in un passaggio..
Ancora no... però anche se fosse possibile applicare de l'Hospital preferirei comunque capire cosa posso fare in caso mi dovessi imbattere in espressioni del tipo di quella citata...
Ok, allora cosa significa $o(x)$?
Se sai questo, la risposta viene da sé
Se sai questo, la risposta viene da sé
Scrivi:
$log(3-\sqrt(4-x))=log(1+[2-\sqrt(4-x)])$
ed usa il limite fondamentale del logaritmo.
$log(3-\sqrt(4-x))=log(1+[2-\sqrt(4-x)])$
ed usa il limite fondamentale del logaritmo.
"booleandomain":
Non riesco a calcolare il seguente limite: $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log(3-\sqrt{4-x})}{x}$.
Ho posto che $\sqrt{4-x}=2-\frac{x}{4}+o(x)$ e quindi viene $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\log(1+\frac{x}{4}+o(x))}{x}$.
So poi che $\log(1+t)=t+o(t)$ dove $t=\frac{x}{4}+o(x)$ e quindi il limite diventa $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{x}{4}+o(x)+o(\frac{x}{4}+o(x))}{x}$.
Ora però non so come andare avanti, in quanto non so come semplificare l'espressione $o(\frac{x}{4}+o(x))$.
La soluzione riportata sul libro è $\frac{1}{4}$.
Grazie per qualsiasi aiuto.
ESERCIZIO
$o(f+o(f))=o(f)$
Se pensi un attimo alle definizioni dovresti farlo facilmente
(naturalmente la scrittura sopra non e' una vera eguaglianza ma piuttosto un'inclusione, come peraltro e' usuale con gli o piccoli; essa significa infatti
se $g$ e' o piccolo di $f$ e se $h$ e' $f$ piu' o piccolo di $g$, allora $h$ e' o piccolo di $f$)
Ma è vero che $o[o[x^m]]\subseteq o[x^{m+1}]$? Se fosse vero, avrei capito come poter risolvere l'esercizio.
Credo di aver trovato un controesempio: $x^\frac{12}{10}\in o[o[x]]$ ma $x^\frac{12}{10}\notin o[x^2]$.
"ViciousGoblin":
ESERCIZIO
$o(f+o(f))=o(f)$
Se pensi un attimo alle definizioni dovresti farlo facilmente
Sono riuscito a dimostrare che $o[\lambda x^m+o[x^m]]\subseteq o[x^m]$ per $x\rightarrow 0$, concludendo così l'esercizio.
Grazie a tutti!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo