Limite e sviluppo di McLaurin

[giozh]

facendo alcuni esercizi d'esame sono incappato in questo:
calcolare limite per x-->+infinito di
[tex]\frac{x^{3}sin(1/x^{\alpha}}{x^{2}+1}[/tex]
al variare di alpha >=0
io avevo pensato almeno per alpha >0 che l'argomento del seno tendeva a zero e quindi potevo usare il suo asintotico, e ho fatto i miei conti. quando poi vado a vedere le soluzioni sorpresa! il seno è stato trasformato in un polinomio di primo grado!
ora io facevo bene lo stesso senza sviluppare niente? e poi cosa mi consigliate quando trovo limiti del genere (con qualsiasi altra funzione elementare), mi conviene svilupparli? ci sono condizioni affinche io possa fare questo sviluppo o lo posso fare liberamente?

[Seneca1]

Prova a spiegarti un po' meglio... Posta la tua soluzione.

[giozh]

siccome l'argomento del seno per alpha diverso da zero è infinitesimo posso usare l'asintotico di sin(f(x))~f(x) e quindi riscrivere al posto del seno i/x^alpha ora per cercare la mia soluzione devo girare un pò di scartoffie, appena la ritrovo posto

[giozh]

scusate il doppio post, trovato il foglio ove ho fatto l'esercizio:

per [tex]\alpha >0[/tex] l'argomento del seno è infinitesimo, quindi posso usare la stima asintotica del seno che mi viene

[tex]1/x^{\alpha}[/tex]

e de qui mi riscrivo il limite con al posto del seno la sua stima. quindi mi viene che se $alpha=1$ il limite è uno, se $alpha>1$ il limite è zero, ma mi manca $0<=\alpha<1...$

[Camillo]

Sono corretti : $ alpha =1 ,L= 1 $, $alpha>1 , L= 0 $ .
Se $ 0

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[giozh]

beh così dovrebbe essere piu infinito

[Camillo]

Certamente, ti è chiaro tutto il discorso ?

[giozh]

yes, ma quindi se non usavo lo sviluppo era la stessa cosa. però un'altra domanda, quando uso uno sviluppo in serie, in che modo giudico a che ordine fermarmi?

[Camillo]

Ma tu hai usato lo sviluppo anche se arrestato la primo termine perchè hai approssimato $sin(1/x^alpha) $ con $1/x^alpha $.
Quando fermarsi ? esperienza, occhio e ...un pizzico di fortuna ..
Importante essere congruenti , se hai una frazione fare in modo di sviluppare i termini al numeratore e al denominatore in modo congruente.
Se ti ferma troppo presto dimentichi contributi importanti e fai un errore.
Se vai troppo oltre , nessun errore ma ti trascina complicazioni di calcolo inutili.

[giozh]

"Camillo":Ma tu hai usato lo sviluppo anche se arrestato la primo termine perchè hai approssimato $sin(1/x^alpha) $ con $1/x^alpha $.

vero

beh comunque credo che nel compito di esame non (vedendo tutti quelli che sono già stati fatti precedentemente) non si va mai oltre il secondo grado.
merci