Limite e soluzioni asintotiche
Ciao, volevo capire qual è la differenza tra fare il limite di una data quantità e trovarla asintoticamente.
Mi spiego meglio con un esempio:
supponiamo di avere una quantità fisica A(B) cioè che dipende da B, e di voler trovare il valore di un'altra quantità fisica M, legata alla prima nel seguente modo: \(\displaystyle M=\frac{\partial A}{\partial B} \) al fine di stabilirne una terza \(\displaystyle S=\frac{\partial M}{\partial B} \) ma quest'ultima per \(\displaystyle B \rightarrow 0 \).
Ora io pensavo di trovarmi la quantità A ok, la quantità M ok, derivare M così da ottenere S e poi farne il limite per \(\displaystyle B \rightarrow 0 \).
Che differenza c' è invece nel trovare A, M ma poi "espanderla" per piccoli B, e infine derivare questa espressione particolare di M ottenendo S? E' questa seconda procedura che corrisponde ad una soluzione asintotica di S per B-> 0 ?
Vorrei chiedervi infine, in caso in generale, qual è la regola per espandere una quantità come M(B) per piccoli B.
Grazie, spero che sia chiaro.
*
Alternativamente, se vi sembra più facile ragionare nello specifico, come sviluppereste \(\displaystyle M= C \tanh [ D (H + kTm) \) per \(\displaystyle H \rightarrow 0 \) ?
(C e D sono delle costanti) al fine di trovare la soluzione asintotica per S.
Mi spiego meglio con un esempio:
supponiamo di avere una quantità fisica A(B) cioè che dipende da B, e di voler trovare il valore di un'altra quantità fisica M, legata alla prima nel seguente modo: \(\displaystyle M=\frac{\partial A}{\partial B} \) al fine di stabilirne una terza \(\displaystyle S=\frac{\partial M}{\partial B} \) ma quest'ultima per \(\displaystyle B \rightarrow 0 \).
Ora io pensavo di trovarmi la quantità A ok, la quantità M ok, derivare M così da ottenere S e poi farne il limite per \(\displaystyle B \rightarrow 0 \).
Che differenza c' è invece nel trovare A, M ma poi "espanderla" per piccoli B, e infine derivare questa espressione particolare di M ottenendo S? E' questa seconda procedura che corrisponde ad una soluzione asintotica di S per B-> 0 ?
Vorrei chiedervi infine, in caso in generale, qual è la regola per espandere una quantità come M(B) per piccoli B.
Grazie, spero che sia chiaro.
*
Alternativamente, se vi sembra più facile ragionare nello specifico, come sviluppereste \(\displaystyle M= C \tanh [ D (H + kTm) \) per \(\displaystyle H \rightarrow 0 \) ?(C e D sono delle costanti) al fine di trovare la soluzione asintotica per S.
Risposte
Secondo me ti conviene chiedere ai fisici. Comunque, la differenza tra sviluppare asintoticamente (ma io direi "sviluppare secondo Taylor") e calcolare un limite è semplice: il limite è un numero, uno sviluppo asintotico è molto di più perché contiene una approssimazione della funzione che è buona a patto di restringersi a intorni sufficientemente piccoli. (Quanto piccoli dipende dalla scala del problema e dalla funzione, e quindi dal problema fisico in questione e non dalla matematica).
Sulla questione delle derivate, infine, in condizioni normali (leggi: in presenza di funzioni analitiche) l'operazione di derivata si può applicare termine a termine in uno sviluppo di Taylor. Quindi derivare e poi sviluppare è la stessa cosa che sviluppare e poi derivare.
Sulla questione delle derivate, infine, in condizioni normali (leggi: in presenza di funzioni analitiche) l'operazione di derivata si può applicare termine a termine in uno sviluppo di Taylor. Quindi derivare e poi sviluppare è la stessa cosa che sviluppare e poi derivare.
Ok, d'accordo.
Ho esplicitato un attimo la cosa, * sopra, così anche da matematico la puoi visualizzare agilmente.
Quindi, nel mio esempio, facciamo che scelgo prima di sviluppare \(\displaystyle M \) e poi derivarla. Come la svilupperesti per \(\displaystyle H \rightarrow 0 \)?
So che la \(\displaystyle tangh(x) \simeq x \) per x-> 0 giusto?
Ho esplicitato un attimo la cosa, *
sopra, così anche da matematico la puoi visualizzare agilmente.Quindi, nel mio esempio, facciamo che scelgo prima di sviluppare \(\displaystyle M \) e poi derivarla. Come la svilupperesti per \(\displaystyle H \rightarrow 0 \)?
So che la \(\displaystyle tangh(x) \simeq x \) per x-> 0 giusto?
Non so a quale ordine vuoi fermarti nello sviluppo cosi' ne indico un po' di piu' del necessario anche se mi fermo al secondo:(eventualmente basta proseguire nello svolgimento dei conti nella penultima uguaglianza e fino al quarto ordine ho scritto abbastanza termini)
$ tanh(x+y)= (tanh(x)+tanh(y))/(1+tanh(x)tanh(y)) $
$ tanh(x)=x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...$ per $ xrarr0 $
$ 1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+... $ per $ xrarr0 $
per $ xrarr0 $
$ tanh(x+y)=(x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...+tanh(y))/(1+(x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)tanh(y))=(tanh(y)+x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)(1-(x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)tanh(y)+(x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)^2tanh^2(y)-(x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)^3tanh^3(y)+...)=tanh(y)+(-tanh^2(y)+1)x+ o(x)$
nel caso della funzione proposta:
$ Ctanh(D(H+kTm))=Ctanh(DkTm)+C(-tanh^2(DkTm)+1)DH+o(DH) $
$ tanh(x+y)= (tanh(x)+tanh(y))/(1+tanh(x)tanh(y)) $
$ tanh(x)=x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...$ per $ xrarr0 $
$ 1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+... $ per $ xrarr0 $
per $ xrarr0 $
$ tanh(x+y)=(x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...+tanh(y))/(1+(x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)tanh(y))=(tanh(y)+x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)(1-(x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)tanh(y)+(x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)^2tanh^2(y)-(x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)^3tanh^3(y)+...)=tanh(y)+(-tanh^2(y)+1)x+ o(x)$
nel caso della funzione proposta:
$ Ctanh(D(H+kTm))=Ctanh(DkTm)+C(-tanh^2(DkTm)+1)DH+o(DH) $
Ciao, ok grazie stessa pensata. 
Dubbio: tagliando al secondo ordine, per il numeratore ho \(\displaystyle (\tanh y + x) \) e il "denominatore" diventa \(\displaystyle (1-x\tanh y + x^2\tanh^2y) \). Quindi moltiplicandoli e tagliando al primo ordine in \(\displaystyle x \) hai il risultato, perché altrimenti c'è anche un fattore \(\displaystyle -x^2\tanh y \) che manca, o sbaglio?
Dubbio: tagliando al secondo ordine, per il numeratore ho \(\displaystyle (\tanh y + x) \) e il "denominatore" diventa \(\displaystyle (1-x\tanh y + x^2\tanh^2y) \). Quindi moltiplicandoli e tagliando al primo ordine in \(\displaystyle x \) hai il risultato, perché altrimenti c'è anche un fattore \(\displaystyle -x^2\tanh y \) che manca, o sbaglio?
Se vuoi proseguire nello sviluppo:
$ tanh(x+y)= tanh(y)+(-tanh^2+1)x+[tanh(y)(-1+tanh^2(y))]x^2+o(x^2) $
come si puo' ricavare prendendo i termini in $ x^2 $ nell'espressione del messaggio precedente che riporto qui per comodita' (con le parentesi quadre per facilitare i conti):
$ tanh(x+y)=(tanh(y)+x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)[1-(x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)tanh(y)+(x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)^2tanh^2(y)-(x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)^3tanh^3(y)+...] $
i termini in $ x^2 $ sono:
$ -x^2tanh(y)+tanh^3(y)x^2 $ il primo deriva dalla x nella prima parentesi tonda per la x nella seconda parentesi tonda mentre il secondo deriva da tanh(y) nella prima parentesi tonda moltiplicato per la x della terza parentesi tonda.
$ tanh(x+y)= tanh(y)+(-tanh^2+1)x+[tanh(y)(-1+tanh^2(y))]x^2+o(x^2) $
come si puo' ricavare prendendo i termini in $ x^2 $ nell'espressione del messaggio precedente che riporto qui per comodita' (con le parentesi quadre per facilitare i conti):
$ tanh(x+y)=(tanh(y)+x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)[1-(x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)tanh(y)+(x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)^2tanh^2(y)-(x-x^3/3+2/15x^5-17/315x^7+...)^3tanh^3(y)+...] $
i termini in $ x^2 $ sono:
$ -x^2tanh(y)+tanh^3(y)x^2 $ il primo deriva dalla x nella prima parentesi tonda per la x nella seconda parentesi tonda mentre il secondo deriva da tanh(y) nella prima parentesi tonda moltiplicato per la x della terza parentesi tonda.
I conti sono questi, non c'è problema, tutto ok. Volevo solo dire che nel risultato finale ci siamo fermati al primo ordine in \(\displaystyle x \), i termini dal grado 2 in poi li abbiamo trascurati.
ok, ho inserito quest'ultima risposta prima di aver letto il tuo ultimo messaggio... 
Scusa non capisco come fa ad uscirti quella uguaglianza??
Semplicemente svolgo i prodotti
\(\displaystyle (\tanh y + x)(1-x\tanh y + x^2 \tanh ^2 y) \) =
\(\displaystyle = \tanh y - x\tanh^2 y + x^2 \tanh^3 y + x - x^2 \tanh y + x^3 \tanh^2 y \)
qui siamo d'accordo, giusto?
Semplicemente svolgo i prodotti
\(\displaystyle (\tanh y + x)(1-x\tanh y + x^2 \tanh ^2 y) \) =
\(\displaystyle = \tanh y - x\tanh^2 y + x^2 \tanh^3 y + x - x^2 \tanh y + x^3 \tanh^2 y \)
qui siamo d'accordo, giusto?
ok, allora come dicevo ora tengo solo i termini di ordine 1 in x e ottengo il risultato (iniziale).
Giusto?
Giusto?
D'accordo: si ottiene il risultato iniziale con i termini in x e il termine costante $ tanh(y) $
$ tanh(x+y)= tanh(y)+(-tanh^2+1)x+o(x) $
Poi considerando i termini in $ x^2 $ e raccogliendo a fattore comune $ tanh(y)x^2 $ segue:
$ x^2tanh(y)[-1+tanh^2(y)] $
e arrivo a
$ tanh(x+y)= tanh(y)+(-tanh^2+1)x+[tanh(y)(-1+tanh^2(y))]x^2+o(x^2) $
Idem se vuoi arrivare al terzo ordine in $ x^3 $, poi se vuoi il quarto bisogna aggiungere un altro termine nello sviluppo di $ 1/(1+x) $ quello in $ x^4 $. Ok nel mio messaggio precedente dove ho svolto i conti ho scritto che lo sviluppo proposto funziona fino al quarto, ma in realta' e' vero ho sbagliato si arriva al terzo se si comincia a contare gli ordini da 0 [termine costante e' di ordine 0]
$ tanh(x+y)= tanh(y)+(-tanh^2+1)x+o(x) $
Poi considerando i termini in $ x^2 $ e raccogliendo a fattore comune $ tanh(y)x^2 $ segue:
$ x^2tanh(y)[-1+tanh^2(y)] $
e arrivo a
$ tanh(x+y)= tanh(y)+(-tanh^2+1)x+[tanh(y)(-1+tanh^2(y))]x^2+o(x^2) $
Idem se vuoi arrivare al terzo ordine in $ x^3 $, poi se vuoi il quarto bisogna aggiungere un altro termine nello sviluppo di $ 1/(1+x) $ quello in $ x^4 $. Ok nel mio messaggio precedente dove ho svolto i conti ho scritto che lo sviluppo proposto funziona fino al quarto, ma in realta' e' vero ho sbagliato si arriva al terzo se si comincia a contare gli ordini da 0 [termine costante e' di ordine 0]
Si. Grazie ancora per aver partecipato alla discussione.
(Solo scriverei, rispettivamente \(\displaystyle o(x^2) \) e \(\displaystyle o(x^3) \)
almeno a me hanno sempre insegnato così, per indicare gli ordini superiori rispetto a quello a cui mi sono fermata.)
Grazie ancora per aver partecipato alla discussione.(Solo scriverei, rispettivamente \(\displaystyle o(x^2) \) e \(\displaystyle o(x^3) \)
almeno a me hanno sempre insegnato così, per indicare gli ordini superiori rispetto a quello a cui mi sono fermata.)
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