Limite e richiesta di chiarimento
Ho queste due funzioni:
$g(y) = 3 "se" y in [-1;1]; y^2 "se" y in R\{x_0}$; $f(x) = 1 + sen^2x$
Devo calcolare il limite per $x -> 1$ della funzione $g(f(x)$.
La domanda che porrò è apparentemente cretina, ma penso di poterci ricavare qualche suggerimento utile.
Dunque, se $f(x)$ tendesse dall'alto e dal basso a 1, il limite della funzione composta non esisterebbe; tendendo a 1 solo dall'alto, allora il limite può esistere.
Ora mi chiedo: siccome è stato solo disegnando il grafico con un opportuno programma che ho visto che la funzione $f(x)$ tendeva a 1 solo dall'alto, come posso ottenere lo stesso risultato senza vedere il grafico? Per le funzioni elementari il problema non si pone, poichè i grafici in genere sono facili da ricordare; per quanto riguarda le funzioni già complesse, invece, non è così. Chi mi dice come posso fare?
$g(y) = 3 "se" y in [-1;1]; y^2 "se" y in R\{x_0}$; $f(x) = 1 + sen^2x$
Devo calcolare il limite per $x -> 1$ della funzione $g(f(x)$.
La domanda che porrò è apparentemente cretina, ma penso di poterci ricavare qualche suggerimento utile.
Dunque, se $f(x)$ tendesse dall'alto e dal basso a 1, il limite della funzione composta non esisterebbe; tendendo a 1 solo dall'alto, allora il limite può esistere.
Ora mi chiedo: siccome è stato solo disegnando il grafico con un opportuno programma che ho visto che la funzione $f(x)$ tendeva a 1 solo dall'alto, come posso ottenere lo stesso risultato senza vedere il grafico? Per le funzioni elementari il problema non si pone, poichè i grafici in genere sono facili da ricordare; per quanto riguarda le funzioni già complesse, invece, non è così. Chi mi dice come posso fare?
Risposte
Ehmmmmmmmmm.... io non ho capito niente! 
Devi studiare la g(y) nel limite per x->1 della f(x)(continua), quindi in f(1), tanto per cominciare.
Dall'alto, dal basso!?! destra o sinistra forse! hai a che fare con funzioni reali di una variabile reale.
Se ho capito bene com'é fatta questa g(y), essa ha delle discontinuitá di prima specie solo nei punti -1, e 1.
Dall'alto, dal basso!?! destra o sinistra forse! hai a che fare con funzioni reali di una variabile reale.
Se ho capito bene com'é fatta questa g(y), essa ha delle discontinuitá di prima specie solo nei punti -1, e 1.
Scusate, proverò ad essere più chiaro.
Devo studiare il limite della funzione $g(f(x))$, con
$g(x) = \{(3 \ \ se\ \ x in [-1;1]),(x^2 \ \ se\ \ x in RR\backslash [-1;1]):}$
$f(x) = 1 + sen^2(x)$.
Osserviamo che il limite per $x$ tendente ad 1 della funzione $g(x)$ non esiste: infatti a destra e a sinistra i limiti sono distinti (penso che sia vero, controllate voi);
Tuttavia il limite della funzione composta esiste e vale $1$; l'unica spiegazione che posso dare a questa cosa è dovuta al fatto che la funzione $f(x)$ tende a 1 per eccesso (intendevo questo con "alto" e "basso"
, scusate la totale assenza di rigore nelle mie parole). Ma nel teorema sul limite delle funzioni composte non compare alcun accenno a questo mio pensiero, del tutto intuitivo. In sostanza, non sono sicuro di aver fatto bene, nè di aver capito il teorema, a questo punto.
Devo studiare il limite della funzione $g(f(x))$, con
$g(x) = \{(3 \ \ se\ \ x in [-1;1]),(x^2 \ \ se\ \ x in RR\backslash [-1;1]):}$
$f(x) = 1 + sen^2(x)$.
Osserviamo che il limite per $x$ tendente ad 1 della funzione $g(x)$ non esiste: infatti a destra e a sinistra i limiti sono distinti (penso che sia vero, controllate voi);
Tuttavia il limite della funzione composta esiste e vale $1$; l'unica spiegazione che posso dare a questa cosa è dovuta al fatto che la funzione $f(x)$ tende a 1 per eccesso (intendevo questo con "alto" e "basso"
, scusate la totale assenza di rigore nelle mie parole). Ma nel teorema sul limite delle funzioni composte non compare alcun accenno a questo mio pensiero, del tutto intuitivo. In sostanza, non sono sicuro di aver fatto bene, nè di aver capito il teorema, a questo punto.
Ah, ok, adesso è chiaro. Quello che stai dicendo è che la funzione $g$ non è continua in $x=\pm 1$ dove presenta una discontinuità di I specie con salto $s=2$. Per quanto riguarda il limite della $g\circ f$, osserva che puoi scrivere, essendo $1\le f(x)\le 2$
$g(f(x))=\{(3\qquad\qquad\qquad\qquad f(x)=1),([f(x)]^2\qquad\qquad f(x)\in (1,2]):}$
Ora $f(x)=1$ se e solo se $\sin x=0$ e quindi se e solo se $x=k\pi$ con $k\in ZZ$. Ma allora
$g(f(x))=\{(3\qquad\qquad\qquad\qquad x=k\pi,\ k\in ZZ),([1+\sin^2 x]^2\qquad\qquad x\ne k\pi,\ k\in ZZ):}$
Come vedi, se calcoli il limite della $g\circ f$ per $x\rightarrow k\pi$ (sia da destra che da sinistra) otterrai sempre il valore $1$ e quindi puoi dedurre che la funzione $g\circ f$ non è continua in questi punti. Ciò dipende proprio dalla non continuità della $g$, per cui la composizione di due funzioni di cui una non continua non ti restituisce una funzione continua.
$g(f(x))=\{(3\qquad\qquad\qquad\qquad f(x)=1),([f(x)]^2\qquad\qquad f(x)\in (1,2]):}$
Ora $f(x)=1$ se e solo se $\sin x=0$ e quindi se e solo se $x=k\pi$ con $k\in ZZ$. Ma allora
$g(f(x))=\{(3\qquad\qquad\qquad\qquad x=k\pi,\ k\in ZZ),([1+\sin^2 x]^2\qquad\qquad x\ne k\pi,\ k\in ZZ):}$
Come vedi, se calcoli il limite della $g\circ f$ per $x\rightarrow k\pi$ (sia da destra che da sinistra) otterrai sempre il valore $1$ e quindi puoi dedurre che la funzione $g\circ f$ non è continua in questi punti. Ciò dipende proprio dalla non continuità della $g$, per cui la composizione di due funzioni di cui una non continua non ti restituisce una funzione continua.
E nel caso in cui $x$ tende a $0$? Come si comporta la funzione? Con il teorema sui limiti delle funzioni composte non posso dire niente a riguardo, sempre limitandomi al mio grado di comprensione.
Per $x\rightarrow 0$ il limite vale $1$. Che c'è di particolare???
C'è che nessun teorema, o almeno adesso non lo vedo (sicuramente è lì il problema), mi dice che se una funzione, componente interna della funzione composta, tende a un numero solo per eccesso, il limite della composta coincide con il limite destro della componente esterna in un punto.
Ammesso che vi sia, poi, non so come fare per vedere che la funzione componente interna tenda solo "per eccesso" o "per difetto" ad un punto.
Se non è chiaro quello che scrivo, chiedo semplicemente di spiegarmi perchè quel limite viene $1$. Ad una prima analisi ignorante, la funzione viene non regolare nel punto.
Ammesso che vi sia, poi, non so come fare per vedere che la funzione componente interna tenda solo "per eccesso" o "per difetto" ad un punto.
Se non è chiaro quello che scrivo, chiedo semplicemente di spiegarmi perchè quel limite viene $1$. Ad una prima analisi ignorante, la funzione viene non regolare nel punto.
Ma mi spieghi che centra il punto $x=0$? Scusa, ma scriviti la composta (come ho fatto io) e riflettici su!
$lim_(x->0)(g(1 + sen^2(x)))$.
Provo ad applicare il teorema sui limiti delle funzioni composte, vedendo se valgono le ipotesi che rendono possibile tale procedimento.
1) Entrambe le funzioni sono definite in tutto $RR$. Quindi la composta ha lo stesso dominio che hanno entrambe le componenti; $x_0 = 0$ è punto di accumulazione per $X$, dove $X$ è il dominio della funzione $f(x)$.
2) Il limite $lim_(x->0)(1 + sen^2(x))$ quant'è? Se è uguale solo a $1^+$, senza essere uguale anche a $1^-$ non ci son problemi, nel senso che il limite di tutta la composta viene senza problemi $1$; se invece è uguale a $1$, calcolando contemporaneamente il limite per eccesso e per difetto, allora non ci siamo più, nel senso che, per la funzione $g$, si avrebbe che $1$ non è punto di accumulazione per $Y$ (dove $Y$ è l'insieme di definizione della funzione componente esterna), pur essendolo a destra e a sinistra.
Ora, disegnando il grafico al computer, mi è venuto fuori che la funzione $1 + sen^2(x)$ tende a $1$, per $x$ tendente a $0$, solo per eccesso; il limite quindi vale correttamente $1$.
Il problema nasce dal fatto che io solo disegnando la funzione $1 + sen^2(x)$ con il computer sono riuscito a vedere che essa tendeva a $1$ solamente per eccesso; solo che per ovvi motivi non posso sempre ricorrere al computer.
Cerco in definitiva una dritta sul procedimento da seguire per risolvere un siffatto limite; come fare cioè a capire quando una funzione tende solo per eccesso (o solo per difetto) ad un limite; perchè se avessi proceduto come al solito (per semplice sostituzione del valore $0$ nell'espressione di $1 + sen^2(x)$), avrei sbagliato, arrivando alla conclusione che tutta la funzione composta non aveva limite.
Provo ad applicare il teorema sui limiti delle funzioni composte, vedendo se valgono le ipotesi che rendono possibile tale procedimento.
1) Entrambe le funzioni sono definite in tutto $RR$. Quindi la composta ha lo stesso dominio che hanno entrambe le componenti; $x_0 = 0$ è punto di accumulazione per $X$, dove $X$ è il dominio della funzione $f(x)$.
2) Il limite $lim_(x->0)(1 + sen^2(x))$ quant'è? Se è uguale solo a $1^+$, senza essere uguale anche a $1^-$ non ci son problemi, nel senso che il limite di tutta la composta viene senza problemi $1$; se invece è uguale a $1$, calcolando contemporaneamente il limite per eccesso e per difetto, allora non ci siamo più, nel senso che, per la funzione $g$, si avrebbe che $1$ non è punto di accumulazione per $Y$ (dove $Y$ è l'insieme di definizione della funzione componente esterna), pur essendolo a destra e a sinistra.
Ora, disegnando il grafico al computer, mi è venuto fuori che la funzione $1 + sen^2(x)$ tende a $1$, per $x$ tendente a $0$, solo per eccesso; il limite quindi vale correttamente $1$.
Il problema nasce dal fatto che io solo disegnando la funzione $1 + sen^2(x)$ con il computer sono riuscito a vedere che essa tendeva a $1$ solamente per eccesso; solo che per ovvi motivi non posso sempre ricorrere al computer.
Cerco in definitiva una dritta sul procedimento da seguire per risolvere un siffatto limite; come fare cioè a capire quando una funzione tende solo per eccesso (o solo per difetto) ad un limite; perchè se avessi proceduto come al solito (per semplice sostituzione del valore $0$ nell'espressione di $1 + sen^2(x)$), avrei sbagliato, arrivando alla conclusione che tutta la funzione composta non aveva limite.
Il tuo per eccesso si traduce in linguaggio matematico con "da destra", cioè da valori maggiori del punto fissato. Mi stai dicendo che non sai dimostrare perché
$\lim_{x\rightarrow 0}(1+\sin^2 x)=1^+$ ?
Ma scusami, da destra (o per eccesso come dici tu) significa per valori più grandi? E allora ti chiedo: la funzione $1+\sin^2 x$ è sempre maggiore (o ugale) ad $1$? Se sì, eccoti la dimostrazione di ciò che chiedi! Ma ti ripeto.... $0$ non è un punto che crea problemi! I punti problematici sono quelli che ho scritto io! E un'altra cosa: il grassetto (per evidenziare quello che secondo te io non avrei capito) te lo puoi risparmiare: io so benissimo dove sta il problema con questa funzione mentre mi sa che sei tu a non aver ancora capito dove sta il nocciolo della questione!
$\lim_{x\rightarrow 0}(1+\sin^2 x)=1^+$ ?
Ma scusami, da destra (o per eccesso come dici tu) significa per valori più grandi? E allora ti chiedo: la funzione $1+\sin^2 x$ è sempre maggiore (o ugale) ad $1$? Se sì, eccoti la dimostrazione di ciò che chiedi! Ma ti ripeto.... $0$ non è un punto che crea problemi! I punti problematici sono quelli che ho scritto io! E un'altra cosa: il grassetto (per evidenziare quello che secondo te io non avrei capito) te lo puoi risparmiare: io so benissimo dove sta il problema con questa funzione mentre mi sa che sei tu a non aver ancora capito dove sta il nocciolo della questione!
"turtle87":Veramente che tenda a $1^+$ lo si vede immediatamente, a occhio, senza bisogno di nessun computer.
Il problema nasce dal fatto che io solo disegnando la funzione $1 + sen^2(x)$ con il computer sono riuscito a vedere che essa tendeva a $1$ solamente per eccesso; solo che per ovvi motivi non posso sempre ricorrere al computer.
"turtle87":Se si applica un teorema quando le hp non sono soddisfatte, possono capitare guai.
se avessi proceduto come al solito (per semplice sostituzione del valore $0$ nell'espressione di $1 + sen^2(x)$), avrei sbagliato, arrivando alla conclusione che tutta la funzione composta non aveva limite.
Veramente che tenda a 1+ lo si vede immediatamente, a occhio, senza bisogno di nessun computer.
Come, se è possibile spiegarlo?
Se si applica un teorema quando le hp non sono soddisfatte, possono capitare guai.
Quali sono queste ipotesi?
Il tuo per eccesso si traduce in linguaggio matematico con "da destra"
Io leggo da varie fonti che si può dire "dall'alto [dal basso]", "per eccesso[per difetto]". Non sempre le fonti sono attendibili, non sapevo che anche per quanto riguarda la variabile dipendente si potesse parlare di "destra" e "sinistra", come invece si fa (credo) per quanto riguarda la variabile indipendente (non a caso si parla di "limite sinistro" e "limite destro"). Non è per puntualizzazioni inutili, è solo per cpaire come si dice: non è un dettaglio, visto che non mi sono espresso bene
.cioè da valori maggiori del punto fissato. Mi stai dicendo che non sai dimostrare perché
$limx→0(1+sin^2x)=1+ $?
Ma scusami, da destra (o per eccesso come dici tu) significa per valori più grandi? E allora ti chiedo: la funzione $1+sin^2x$ è sempre maggiore (o ugale) ad 1? Se sì, eccoti la dimostrazione di ciò che chiedi! Ma ti ripeto.... 0 non è un punto che crea problemi! I punti problematici sono quelli che ho scritto io!
Ok, ora è chiaro. Si trattava di ragionare sull' espressione della funzione, cosa che in questo caso pare abbastanza semplice, poichè il quadrato è sempre positivo o nullo etc. etc.
Credo che il mio timore (lo sento a pelle, non riesco a ragionarci) fosse dovuto al fatto che non sempre è possibile ragionare su una funzione del genere. Se capitano altre funzioni (magari per esercizio posso provare a pensare ad un esempio) dove non è così semplice capire che tenda a $1$ solo per valori maggiori di $1$, non so che procedimento applicare.
Il mio obiettivo, come credo quello di tutti, è quello di rendere le operazioni quanto più meccaniche possibili, e solo su queste "solide basi", provare quel piacere "senza tensione" di usare la mente per ragionare.
E un'altra cosa: il grassetto (per evidenziare quello che secondo te io non avrei capito) te lo puoi risparmiare: io so benissimo dove sta il problema con questa funzione mentre mi sa che sei tu a non aver ancora capito dove sta il nocciolo della questione! Smile
Il problema è più mio che tuo: cioè, io so di non riuscire spesso a spiegarmi bene, di conseguenza evidenziare le espressioni mi dà l'impressione di essere più chiaro.
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