Limite e ricerca asintoto
Buonasera vorrei chiedere gentilmente aiuto con il seguente limite e la relativa ricerca dell'asintoto obliquo.
\(\lim _{x\to -\infty }\left(3x^3+5x^2+x\right)^{\frac{1}{3}}\)
\(\lim _{x\to -\infty }\left(3x^3+5x^2+x\right)^{\frac{1}{3}}\)
Risposte
Ciao, hai qualche idea su come affrontarlo?
Sì, utilizzerei il principio di sostituzione degli infiniti. Tuttavia, temo che essendoci una somma algebrica di termini infiniti la sostituzione potrebbe portare ad un risultato sbagliato.
Vedila così: prova a mettere in evidenza $x^3$.
Ok. No, non dovresti incappare in un errore: hai una semplicissima somma, senza divisioni o moltiplicazioni, elevata a $1/3$. Quanto fa? 
Quindi quando si hanno solo somme algebriche non c'é il rischio di incappare in un errore utilizzando il principio di sostituzione? Mi pareva di aver capito così...
Hai capito giusto, il rischio di sbagliare col principio di sostituzione in somme algebriche esiste, ma in questo caso no perché il limite è banale.
E in base a cosa riesco a capire se un limite è banale? Mi scuso per l'insistenza ma non riesco proprio a capire...
È un polinomio (il radicando) e un polinomio va dove va il suo termine di maggior grado (la radice ne cambierà la "velocità di fuga" ma non l'obiettivo)
Ciao gianni97,
Certo, si può fare anche così, ma è un po' come sparare ad un passero con un cannone da 176: indubbiamente lo fai secco, ma in realtà basta molto meno...
Seguendo il consiglio di AnalisiZero, si ha:
$ lim_{x\to -\infty} (3x^3+5x^2+x)^{1/3} = lim_{x\to -\infty} (x^3(3 + 5/x + 1/x^2))^{1/3} = lim_{x\to -\infty} x(3 + 5/x + 1/x^2)^{1/3} = -\infty $
in quanto ovviamente la quantità all'interno delle parentesi tonde tende a $3$. Analogamente non è difficile trovare che si ha:
$ lim_{x\to +\infty} (3x^3+5x^2+x)^{1/3} = +\infty $
In definitiva, compendiando il tutto:
$ lim_{x \to \pm \infty} (3x^3+5x^2+x)^{1/3} = \pm \infty $
Se la funzione è $f(x) = (3x^3+5x^2+x)^{1/3} $, essa presenta un asintoto obliquo $y = mx + q $ ove
$ m = lim_{x \to \pm \infty} frac{f(x)}{x} = lim_{x \to \pm \infty} frac{(3x^3+5x^2+x)^{1/3}}{x} = lim_{x \to \pm \infty} frac{x(3+5/x+1/x^2)^{1/3}}{x} = $
$ = lim_{x \to \pm \infty} (3+5/x+1/x^2)^{1/3} = root[3]{3} $
$ q = lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - mx] = lim_{x \to \pm \infty} [(3x^3+5x^2+x)^{1/3} - root[3]{3} x] = frac{5 root[3]{3}}{9} $
"gianni97":
utilizzerei il principio di sostituzione degli infiniti.
Certo, si può fare anche così, ma è un po' come sparare ad un passero con un cannone da 176: indubbiamente lo fai secco, ma in realtà basta molto meno...
"AnalisiZero":
prova a mettere in evidenza $x^3 $
Seguendo il consiglio di AnalisiZero, si ha:
$ lim_{x\to -\infty} (3x^3+5x^2+x)^{1/3} = lim_{x\to -\infty} (x^3(3 + 5/x + 1/x^2))^{1/3} = lim_{x\to -\infty} x(3 + 5/x + 1/x^2)^{1/3} = -\infty $
in quanto ovviamente la quantità all'interno delle parentesi tonde tende a $3$. Analogamente non è difficile trovare che si ha:
$ lim_{x\to +\infty} (3x^3+5x^2+x)^{1/3} = +\infty $
In definitiva, compendiando il tutto:
$ lim_{x \to \pm \infty} (3x^3+5x^2+x)^{1/3} = \pm \infty $
Se la funzione è $f(x) = (3x^3+5x^2+x)^{1/3} $, essa presenta un asintoto obliquo $y = mx + q $ ove
$ m = lim_{x \to \pm \infty} frac{f(x)}{x} = lim_{x \to \pm \infty} frac{(3x^3+5x^2+x)^{1/3}}{x} = lim_{x \to \pm \infty} frac{x(3+5/x+1/x^2)^{1/3}}{x} = $
$ = lim_{x \to \pm \infty} (3+5/x+1/x^2)^{1/3} = root[3]{3} $
$ q = lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - mx] = lim_{x \to \pm \infty} [(3x^3+5x^2+x)^{1/3} - root[3]{3} x] = frac{5 root[3]{3}}{9} $
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