Limite e limite notevole, domanda

[wimpi1]

Salve a tutti, purtroppo apro la mia prima domanda sul forum con un quesito stupido, lo so, ma non ho fatto liceo scientifico e i miei prerequisiti sono davvero bassi. Questi limiti costituiscono per me un problemone.

Mi piacerebbe poter capire una cosa e non trovo risposta sul libro o online forse perché proprio semplicissima.
Mettiamo di avere un limite:

$lim_x->0 log_a(1+x)/x=1/(ln(a))$ che è il limite notevole, però non capisco perché se avessi un limite in cui c'è questo notevole posso applciare la regola

$lim_x->0 log_a(1+x)=lim_x->0x/(ln(a))$
Il mio professore ha detto che si può applicare tale regola se si ha equivalenze asintotiche (e lo vedo bene nel caso del limite notevole del seno ricordando che una equivalenta asintotica in cui il rapporto del limite deve dare la costante 1 e tra sin(x)/x=1 esattamente.)
però non capisco perché si possa fare perché non è un equivalenza asintotica $lim_x->0 log_a(1+x)/x=1/(ln(a))$, l'equivalenza asintotica da come risultato del rapporto di limiti 1, questa al massimo è una equigradezza.
Quindi forse o mi sfugge qualcosa o si può applicare quella "sostituzione" per equigrandezze e non solo per equivalenze asintotiche

Ringrazio

[anto_zoolander]

Ma cosa è una equigrandezza?
Se sai cosa sono le equivalenze asintotiche e i teoremi sui limiti, hai risolto

[wimpi1]

Una equigrandezza da quanto leggevo differisce dall'equivalenza asintotica nel senso che è un caso "Più generale" in cui ho come risultato di quel rapporto non uno ma una costante k (più generica).
Per quello dicevo si può usare anche per equigrandezze e non solo per eq. asintotiche.
Dico giusto?

TI ringrazio

[anto_zoolander]

Ah intendi se il limite del rapporto da un numero $l$.
Le due cose non differiscono granché, poiché se $lne0$ puoi dividere per $l$ e ottenere una equivalenza asintotica. Comunque il motivo è che

[size=120]$lim_(x->0)log_(a)(1+x)=lim_(x->0)x*log_(a)(1+x)/x=lim_(x->0)x *lim_(x->0)log_(a)(1+x)/x=(lim_(x->0)x)/(log(a))$[/size]

Chiaramente il limite lo puoi spezzare perché esistono entrambi.

[wimpi1]

Diciamo che generalizzando il dubbio mi chiedevo, data l'affermazione del prof che diceva: se hai una equivalenza asintotica (rapporto di limiti pari a valore 1) puoi scrivere

se $lim_(x->0)f(x)/g(x)=1$ per equivalenza asintotica $lim_(x->0)f(x)=lim_(x->0)g(x)$

Però notavo come alcuni limiti notevoli siano della forma

$lim_(x->0)f(x)/g(x)=l$ che non è prorpiamente una "equivalenza asintotica "se l diverso da zero, e dicevo quindi non vale solo per equivalenze asintotiche potendo scrivere in casi come questo:

$lim_(x->0)f(x)=l*lim_(x->0)g(x)$

Forse più chiaro così