Limite e il simpaticissimo Taylor^^

[Xfight]

Salve a tutti ^^

Vi pongo un limite :

$lim_{x \to 1-} ((acos x)/(x-1)) $

uno un attimino + tosto

$lim_{x \to 0 } ((4sinx)/(log^2(1+2x))-1/x) $

Serie di Taylor

Cosa vuol dire "Calcolare lo sviluppo di Taylor in 0 della funzione log(1+x)" ??

Possibilmente, potete farmi vedere tutti i passaggi ?
Complimenti per il fantastico sito e a tutti i suoi utenti ^^
Grazie in anticipo ^^. Ciauz

[carlo232]

"Xfight":

Cosa vuol dire "Calcolare lo sviluppo di Taylor in 0 della funzione log(1+x)" ??

Possibilmente, potete farmi vedere tutti i passaggi ?
Complimenti per il fantastico sito e a tutti i suoi utenti ^^
Grazie in anticipo ^^. Ciauz

Per una risposta rigorosa sullo sviluppo di Taylor ti consiglio di fare una ricerca su Internet...

Comunque se vuoi calcolare lo sviluppo ti Taylor di $ln(1+x)$ significa che vuoi trovare i coefficiente $a$ tali che

$ln(1+x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...$

per farlo è sufficiente che tu considere che detto

$ln(1+x)=sum_(n=0)^infty a_nx^n$

sapendo che si ha $d/(dx) ln(1+x) = 1/(1+x)$ allora devi avere

$1/(1+x)=sum_(n=1)^infty na_nx^(n-1)$

ora ricordando che per $|x|<1$ si ha

$1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+...$

ottieni che $na_n=(-1)^(n+1)$ da cui $a_n=((-1)^(n+1))/n$ quindi

$ln(1+x)=x-(x^2)/2+(x^3)/3-(x^4)/4+...$

Ciao!

[ottusangolo]

Ciao!
ad integrazione di quanto detto da Carlo aggiungo:

i coeff.$ a_n$ sono dati dalla derivata n-esima calcolata nel punto ove sviluppi (0, nel tuo caso) divisa per n!
Questo $a_n$ va motiplicato per (x-a)^n se sviluppi in x=a (nel tuo caso a=0, quindi per x^n)

Attenzione che f(x) abbia derivata continua fino all'ordine di approssimazione che ti serve (ad es k) , in modo che detta la serie di T. di ordine k , P(x-a), risulti che [ f(x)-P(x-a)]/(x-a)^k
vada a zero per x che va ad a.

Detto questo per il primo limite sviluppa cosx in x=1 , sostituisci e dovrebbe tornarti che il lim va a (-segno di a)inf
Ma non usare questo metodo perchè si vede subito osservando che cosx è limitato.
E speriamo di non aver detto cavolate! Ciao