Limite e convergenza di un integrale improprio
1. Dato il limite:
$\lim_{x \to 0} (sinx^2-sin^2(x)) / (ln(1+x^2)-x^2)$
Ho considerato l'eguaglianza asintotica.
Ma non riesco a sbrogliarmi, avete suggerimenti per questo limite?
2. Un altro quesito riguarda questo integrale:
Stabilire per quali $\alpha$ di R è convergente l'integrale improprio:
$\int_0^1 root(3)(( (sinx^2-sin^2(x))^\alpha / (ln(1+x^2)-x^2)) dx$
(è tutto sotto radice)
Sinceramente in questo caso non ho neanche capito come procedere... :S
$\lim_{x \to 0} (sinx^2-sin^2(x)) / (ln(1+x^2)-x^2)$
Ho considerato l'eguaglianza asintotica.
Ma non riesco a sbrogliarmi, avete suggerimenti per questo limite?
2. Un altro quesito riguarda questo integrale:
Stabilire per quali $\alpha$ di R è convergente l'integrale improprio:
$\int_0^1 root(3)(( (sinx^2-sin^2(x))^\alpha / (ln(1+x^2)-x^2)) dx$
(è tutto sotto radice)
Sinceramente in questo caso non ho neanche capito come procedere... :S
Risposte
per il limite io direi di sostituire gli sviluppi di Taylor al numeratore e dovrebbe semplificarsi un po'...
Si, espandi il tutto con Taylor fino al secondo ordine (se ti fermassi al primo ti continuerebbe a venire al forma indeterminata $0/0$).
Attento al $sin^2(x)$... ti conviene scriverlo nella forma $[sin(x)]^2$ (trae meno in inganno!)!
Attento al $sin^2(x)$... ti conviene scriverlo nella forma $[sin(x)]^2$ (trae meno in inganno!)!
Grazie per le risposte; ahimè non sono molto pratico con le serie di Taylor.
Provo a sviluppare allora:
$sinx^2=x^2-x^6/(3!)+x^10/5! +o(x^7) $
divido tutto per $x^2$ e ottengo:
$=1-x^4/(3!)+x^8/5! +x^5*o(x^7)/(x^7)$
che tendendo a zero, viene $1$.
$(sinx)^2= [ x-x^3/(3!)+x^5/(5!) + o(x^7) ]^2 $
anche qui, dividendo e tendendo a zero, viene: $1$
Ottengo comunque zero al numeratore.
Forse non ho ben capito come si risolvono i limiti con la serie di Taylor :S
Provo a sviluppare allora:
$sinx^2=x^2-x^6/(3!)+x^10/5! +o(x^7) $
divido tutto per $x^2$ e ottengo:
$=1-x^4/(3!)+x^8/5! +x^5*o(x^7)/(x^7)$
che tendendo a zero, viene $1$.
$(sinx)^2= [ x-x^3/(3!)+x^5/(5!) + o(x^7) ]^2 $
anche qui, dividendo e tendendo a zero, viene: $1$
Ottengo comunque zero al numeratore.
Forse non ho ben capito come si risolvono i limiti con la serie di Taylor :S
eh già hai proprio sbagliato..XD
sei partito bene con gli sviluppi, ma non ha senso quello che fai nel primo passaggio! Non devi assoutamente dividere per $x^2$, basta che ti tieni il tuo sviluppo fino a $x^6$. Per quanta riguarda il secondo sviluppo: anche qui non devi dividere per $x^2$, bensi ti conviene considerare solo i primi 2 termini per polinomio e farci il prodotto notevolte con l' elevazione alla seconda..
sei partito bene con gli sviluppi, ma non ha senso quello che fai nel primo passaggio! Non devi assoutamente dividere per $x^2$, basta che ti tieni il tuo sviluppo fino a $x^6$. Per quanta riguarda il secondo sviluppo: anche qui non devi dividere per $x^2$, bensi ti conviene considerare solo i primi 2 termini per polinomio e farci il prodotto notevolte con l' elevazione alla seconda..
"faximusy":
Grazie per le risposte; ahimè non sono molto pratico con le serie di Taylor.
Provo a sviluppare allora:
$sinx^2=x^2-x^6/(3!)+x^10/5! +o(x^7) $
divido tutto per $x^2$ e ottengo:
$=1-x^4/(3!)+x^8/5! +x^5*o(x^7)/(x^7)$
che tendendo a zero, viene $1$.
$(sinx)^2= [ x-x^3/(3!)+x^5/(5!) + o(x^7) ]^2 $
anche qui, dividendo e tendendo a zero, viene: $1$
Ottengo comunque zero al numeratore.
Forse non ho ben capito come si risolvono i limiti con la serie di Taylor :S
Si diciamo che qualcosa che sfugge c'è!
Anche perchè se ci pensi, quel che hai scritto non ha molto senso in quanto nell'espressione:
$sinx^2=x^2-x^6/(3!)+x^10/5! +o(x^7) $ dato che hai messo un $o(x^7)$, non ha senso mettere un valore nell'ordine di $o(x^10)$, in quanto ancor più veloce!
Segui il consiglio di andra_zx e non dovresti aver problemi, consiglio che vale anche per il denominatore... il logaritmo espandilo solo fino al secondo termine del polinomio di Taylor!
Un aiutino:
l'ordine a cui ti devi ricondurre per calcolare il limite è $x^4$....
Allora, grazie a entrambi per l'aiuto; vi espongo cosa ho fatto...
Ho espanso i termini fino al secondo termine ed ho ottenuto:
$sinx^2-(sinx)^2= x^2-x^6/6 - x^2-x^6/36 + 2x*x^3/6 = -7x^6/36 + x^4/3$
e
$ln(1+x^2)-x^2 = x^2-x^4/2-x^2=-x^4/2$
quindi il rapporto è:
$(-7x^6/36+x^4/3)(-2/x^4) = 7x^2/36-2/3$
tendendo quindi al limite per $x->0$ ottengo: $-2/3$
Spero sia il risultato esatto....
Ho espanso i termini fino al secondo termine ed ho ottenuto:
$sinx^2-(sinx)^2= x^2-x^6/6 - x^2-x^6/36 + 2x*x^3/6 = -7x^6/36 + x^4/3$
e
$ln(1+x^2)-x^2 = x^2-x^4/2-x^2=-x^4/2$
quindi il rapporto è:
$(-7x^6/36+x^4/3)(-2/x^4) = 7x^2/36-2/3$
tendendo quindi al limite per $x->0$ ottengo: $-2/3$
Spero sia il risultato esatto....
Perfetto fin qua ci siamo..
in generale però, non portarti avanti ordini di infinitesimo superiori a quelli che ti servono, ad esempio nell' ultimo passaggio. Per chiarezza ti conviene tenere solo l' infinitesimo di ordine minore.
Ora, per quanto riguarda l' integrale, rifai lo sviluppo con Taylor e controlla bene le potenze di x da confrontare con $a$
in generale però, non portarti avanti ordini di infinitesimo superiori a quelli che ti servono, ad esempio nell' ultimo passaggio. Per chiarezza ti conviene tenere solo l' infinitesimo di ordine minore.
Ora, per quanto riguarda l' integrale, rifai lo sviluppo con Taylor e controlla bene le potenze di x da confrontare con $a$
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