Limite e continuità, definizioni appplicate ad un esempio

[Jack871]

Ciao!

Sia data la funzione $f(x) : RR to RR$ definita da

$f(x) = {(1 : x = 0),(0 : x != 0):}$

Si vede subito che è $lim_(x -> 0) f(x) = 0$. Ma vorrei poterlo dimostrare applicando la definizione di limite.

Analogamente si vede subito che è $lim_(x -> 0) f(x) != f(0)$ e che quindi la funziona non è continua in zero. Vorrei poter dimostrare anche questo applicando la definizione di continuità.

Mi date una mano?

Grazie!

[billyballo2123]

Fissa $\varepsilon>0$. Allora dato un qualunque $\delta>0$ (basterebbe provare l'esistenza di un $delta$, ma in questo caso vale per ogni $\delta$), per ogni $x\in (-\delta,delta)\setminus \{0\}$ si ha che $|f(x)-0|=|0-0|=0<\varepsilon$, dunque
\[
\lim_{x\to 0}f(x)=0
\]
e per unicità del limite
\[
\lim_{x\to 0}f(x)\ne 1=f(0).
\]

Oppure riapplicando la definizione, puoi dimostrare che il limite non è $f(0)$:
Qualunque sia $\varepsilon\in(0,1)$ (anche qui, basterebbe provare l'esistenza di un $\varepsilon$, ma in questo caso vale per ogni $\varepsilon\in(0,1)$), per ogni $\delta>0$ e per ogni $x\in (-\delta,\delta)\setminus\{0\}$ si ha che $|f(x)-f(0)|=|0-1|=1>\varepsilon$, dunque
\[
\lim_{x\to 0}f(x)\neq f(0).
\]